처음부터 배우는 ZABR

1/5

섹션 1

유연한 백본을 가진 SABR

SABR에서는 포워드가 Fᵝ에 비례하는 변동성으로 확산됩니다 — 멱법칙입니다. 이 지수 β 하나가 백본 전체를 결정합니다. ZABR은 멱법칙을 일반 함수 γ(F)로 대체합니다. SABR 구조는 그대로지만 백본은 어떤 형태든 가질 수 있습니다.

표준 SABR에서 포워드 SDE는 다음과 같습니다:

SABR 포워드 방정식

dF = α·Fᵝ·dW₁

백본 Fᵝ는 변동성 민감도가 F의 수준에 따라 어떻게 변하는지를 결정합니다. β = 1이면 로그정규입니다. β = 0이면 정규입니다. 그 사이에서는 백본이 휘어집니다.

ZABR은 Fᵝ를 임의의 매끄러운 함수 γ(F)로 대체하여 이를 일반화합니다:

ZABR 포워드 방정식

dF = α·γ(F)·dW₁

dα = ν·α·dW₂

corr(dW₁, dW₂) = ρ

SABR과 동일한 확률적 변동성 구조이며, α,ν, ρ도 동일합니다. 유일한 변경점은 γ(F)로 바뀐 Fᵝ.

멘탈 모델

SABR은 구부릴 수 있는 막대 하나를 제공합니다: 멱법칙 Fᵝ입니다. β를 바꾸면 막대가 이쪽저쪽으로 휘지만, 항상 같은 형태 계열입니다. ZABR은 구부리기 전에 완전히 다른 막대로 교체할 수 있게 해 줍니다. 막대의 형태가 곧 백본이며, ZABR은 이렇게 말합니다: 시장에 맞는 형태를 무엇이든 선택하세요.

만약 γ(F) = Fᵝ로 설정하면 SABR을 정확히 복원합니다. ZABR은 엄밀한 일반화입니다. 문제는 이것입니다: 이 추가적인 유연성은 언제 중요해질까요?

섹션 2

γ 함수

SABR에서는 γ(F) = Fᵝ입니다. ZABR에서는 γ(F)가 구간별 함수, 스플라인, 또는 임의의 매끄러운 양수 함수일 수 있습니다. 즉 로컬 변동성 백본이 킹크(꺾임), 셸프(평탄 구간), 변곡 등 단일 멱법칙으로는 만들 수 없는 형태를 가질 수 있습니다.

백본 함수 γ(F)는 모델에게 알려줍니다: 포워드의 각 수준에서 로컬 변동성이 확률적 변동성 충격에 얼마나 민감한가? 특정 수준에서 γ(F)가 높다는 것은 가격이 그 수준에 있을 때 변동성이 매우 민감하게 반응한다는 뜻입니다. γ(F)가 낮으면 그 지점에서 변동성이 둔화됩니다.

SABR의 Fᵝ: 단조 함수입니다. β < 1이면 γ는 선형보다 느리게 증가합니다 — 낮은 F에서 변동성 민감도가 상대적으로 더 높습니다. β = 1이면 γ는 선형으로 증가합니다. 그러나 항상 매끄럽고 단조적이며 오목합니다.

ZABR의 일반 γ(F): 비단조일 수 있습니다. 셸프(낮은 F에서 변동성 민감도 포화)를 가질 수 있습니다. 킹크(특정 가격 수준에서 민감도의 급격한 변화)를 가질 수 있습니다. 구간별 선형, 스플라인, 또는 원하는 어떤 파라메트릭 형태도 가능합니다.

백본 비교: SABR vs ZABR

β0.50

낮은 수준에서 평탄화 — F가 작을 때 변동성 민감도가 포화됩니다

SABR: Fᵝ (거듭제곱 법칙, 형태 파라미터 1개)

ZABR: 사용자 지정 γ(F) (유연한 형태)

위의 β 슬라이더를 드래그하여 SABR의 멱법칙 백본과 두 가지 ZABR 대안을 비교해 보세요. "셸프" 백본은 낮은 F에서 평탄해집니다 — 포워드가 매우 낮을 때 변동성 민감도가 포화된다는 의미이며, 낮은 β를 사용한 SABR이 0 근처에서 만들어내는 폭발을 방지합니다. "S-커브" 백본은 변동성 민감도를 현재 포워드 주변 구간에 집중시키는데, 이는 시장 동작에 대한 또 다른 구조적 가정입니다.

커스텀 백본 디자이너

상단 패널의 녹색 점을 드래그하여 γ(F)의 형태를 조정해 보세요. 아래에서 스마일이 어떻게 변하는지 확인하세요.

위의 디자이너에서 컨트롤 포인트를 드래그하여 어떤 백본 형태든 만들고 그 결과 스마일을 확인할 수 있습니다. 백본 형태와 스마일 형태의 연결은 직접적입니다: γ(F)가 가파른 곳에서는 스마일의 곡률이 커지고, γ(F)가 평평한 곳에서는 스마일이 더 완만해집니다.

섹션 3

왜 백본을 일반화하는가?

일부 시장에는 SABR의 Fᵝ로는 맞출 수 없는 스마일이 있습니다. 백본 자체가 잘못되었다면 파라미터를 아무리 조정해도 적합을 완전히 살릴 수 없습니다. ZABR은 백본이 스스로 적응하도록 합니다.

제로 부근 금리. 금리가 0 부근이거나 음수일 때 SABR 백본은 문제를 일으킵니다. 낮은 β에서는 Fᵝ 항이 낮은 F에서 극단적인 변동성을 만들어 비현실적인 스마일을 생성할 수 있습니다. 높은 β에서는 모델이 음의 금리를 아예 처리할 수 없습니다. γ(F) = (F + d)ᵝ (시프트된 멱법칙)이나 tanh 함수 같은 백본을 사용하는 ZABR은 이를 매끄럽게 처리합니다.

크레딧 스프레드. CDS 옵션 스마일은 SABR이 왼쪽 윙에서 체계적으로 놓치는 형태를 가지는 경우가 많습니다. 낮은 수준(부도 부근)에서의 스프레드 다이내믹스는 높은 수준에서와 다르게 움직입니다. 구간별 백본은 이 전환을 포착할 수 있습니다.

레짐 전환 시의 주식 변동성. 대규모 급락 이후 스마일에는 SABR의 매끄러운 멱법칙이 재현할 수 없는 특징(킹크, 특정 행사가 구간에서의 추가적인 가파름)이 나타날 수 있습니다. 스플라인 백본을 사용하는 ZABR은 이러한 일시적 특징을 포착할 수 있습니다.

ZABR vs SABR: 윙 피팅

시장은 85 아래에서 기울기가 더 가파릅니다. SABR은 이를 포착하지 못합니다. ZABR 백본은 적응합니다.

시장 데이터

SABR (Fᵝ 백본)

ZABR (커스텀 γ(F) 백본)

위의 두 프리셋을 전환해 보세요. "정상 시장" 사례에서는 SABR과 ZABR이 거의 동일한 스마일을 만들어냅니다 — ZABR의 추가 유연성이 필요하지 않습니다. "꺾인 왼쪽 윙" 사례에서는 SABR이 킹크를 체계적으로 놓칩니다. ZABR의 백본은 이에 맞춰 적응할 수 있습니다.

교훈: ZABR은 체계적인 백본 부적합이 있을 때에만 가치를 발휘합니다. SABR이 잘 맞는다면 커스텀 백본이라는 복잡성을 더할 이유가 없습니다. 모델 선택 기준은 경험적입니다: SABR의 최적 적합과 시장 사이의 잔차가 다른 백본으로 고칠 수 있는 패턴을 보이는가?

섹션 4

점근 전개

ZABR은 SABR과 동일한 Hagan 방식의 점근 전개를 사용하되, γ(F)가 Fᵝ를 대체합니다. 공식 구조는 동일하며 백본 함수만 바뀝니다.

Hagan-Woodward SABR 공식(2002)은 내재변동성을 변동성의 변동성(vol-of-vol) ν와 만기 T의 거듭제곱으로 전개한 점근 전개입니다. 핵심 구성 요소는 백본이 포함된 적분을 통해 포워드 수준을 "정규 변동성" 공간으로 매핑하는 것입니다:

백본 적분

∫_K^F du / γ(u)

SABR에서 이 적분은 닫힌 형태로 계산됩니다(F와 K의 β 거듭제곱이 포함됩니다). ZABR에서는 수치적으로 평가하며, 그 대상은 일반 γ.

Hagan 공식의 나머지 부분 — z에서 x로의 매핑, 보정 항 — 은 구조적으로 동일합니다. 모든 Fᵝ를 γ(F)로 바꾸고, 백본 적분이 나타나는 모든 곳을 그 수치 값으로 대체하면 됩니다. 전개는 동일한 차수까지 유효합니다.

이것이 중요한 이유: 점근 전개는 빠릅니다. 각 (K, T) 쌍마다 적분 하나를 (수치적으로) 계산하고, 동일한 Hagan 방식 공식에 대입하면 내재변동성을 얻습니다. PDE도, 몬테카를로도 필요 없습니다. 이것이 ZABR을 실용적으로 만듭니다: 점근 공식의 속도와 커스텀 백본의 유연성을 모두 갖추고 있습니다.

정확도의 한계: Hagan 전개는 T에 대해 1차까지만 유효합니다. 만기가 긴 옵션에서는 부정확할 수 있습니다. 이는 SABR 자체와 동일한 한계입니다 — 이 전개는 단기~중기 만기를 위한 것입니다. 장기 만기에는 SABR이든 ZABR이든 PDE 솔버나 몬테카를로가 필요합니다.

대안: PDE 접근법. 점근 전개 대신 ZABR 가격결정 PDE를 직접 풀 수도 있습니다. 더 정확하지만 더 느립니다. 일부 구현에서는 점근 전개를 초기 추정치로 사용하고 PDE 보정으로 정밀화합니다.

섹션 5

실무에서의 ZABR

ZABR은 전문가용 도구입니다. 음의 금리 환경에서 금리 데스크가, 그리고 백본 부적합이 헤징 오류를 일으키는 이색옵션 데스크가 사용합니다. 더 단순하고 대개는 충분한 시프트 SABR보다는 덜 흔합니다.

금리 시장: 주된 사용층입니다. EUR과 JPY 금리가 음수가 되었을 때 데스크들은 F < 0을 처리할 수 있는 모델이 필요했습니다. 시프트 SABR(γ(F) = (F + d)ᵝ 사용)이 빠른 해결책이었습니다. 커스텀 백본을 갖춘 완전한 ZABR은 더 정밀한 윙 적합이 필요한 데스크를 위한 고급 솔루션이었습니다.

이색옵션 가격결정: 경로 의존형 상품(CMS 캡, 레인지 어크루얼)은 페이오프가 포워드가 여러 수준을 어떻게 지나가는지에 따라 달라지기 때문에 백본 형태에 민감합니다. 잘못된 백본은 잘못된 다이내믹스를 의미하고, 이는 바닐라 스마일이 맞더라도 이색옵션 가격이 틀린다는 뜻입니다. ZABR은 백본이 실증적 다이내믹스에 부합하도록 하여 이를 해결합니다.

캘리브레이션: 시장 데이터에 γ(F)를 적합시키는 것은 β 하나만 적합시키는 것보다 어렵습니다. SABR에서는 네 개의 파라미터를 최적화합니다. ZABR에서는 γ의 파라미터(매듭이 많은 스플라인일 수도 있음)에 더해 α, ν, 및 ρ를 최적화합니다. 이는 더 많은 데이터와 더 신중한 정규화가 필요한 고차원 문제입니다.

ZABR을 쓰지 말아야 할 때:

1. SABR이 잘 맞을 때. 추가 가치 없는 추가 복잡성은 그저 추가 리스크일 뿐입니다. SABR 잔차가 작고 구조가 없다면 단순하게 유지하세요.

2. 백본을 제약할 데이터가 충분하지 않을 때. 데이터가 희소한 상태에서 유연한 γ는 과적합으로 이어집니다. 추가 자유도를 정당화하려면 스마일 전반에 걸쳐 유동성 있는 행사가가 충분해야 합니다.

3. 크립토 변동성 표면의 경우. 크립토 데스크는 일반적으로 정적 적합에 SVI/SSVI를 사용하며, ZABR이 제공하는 동적 백본 스토리가 필요하지 않습니다. 스마일 형태는 확률적 변동성 백본을 수정하기보다 직접 파라미터화로 다루는 편이 낫습니다.

모델 계층 구조

Black-Scholes(γ = F, 확률적 변동성 없음) → SABR(γ = Fᵝ, 확률적 변동성) → ZABR(γ = 일반 함수, 확률적 변동성). 각 단계마다 유연성과 복잡성이 더해집니다. 시장에 맞고 헤징 요구를 충족하는 가장 단순한 모델을 사용하세요.

다음으로 볼 내용:

SABR 모델 — ZABR이 일반화하는 기반 모델

변위 확산 (Displaced Diffusion) — 가장 단순한 시프트 접근법

확률적 로컬 변동성 — 백본 유연성에 대한 대안적 접근법

Heston 모델 — 다른 분산 과정을 사용하는 확률적 변동성 모델