처음부터 배우는 Variance Gamma
1/5시간 자체가 무작위
Variance Gamma는 급진적인 아이디어에서 출발합니다: 확산에 점프를 더하는 대신, 시간 자체를 확률적으로 만듭니다. 브라운 운동이 랜덤 시계 위에서 달립니다.
일반적인 브라운 운동은 달력 시간을 사용합니다: 1초에 1초씩, 한결같이 균일합니다. VG는 시장에 자체 내부 시계가 있다고 말합니다 — 바로 감마 프로세스 G(t)입니다. 이 시계는 때로는 앞서 달리고 때로는 기어갑니다. 시계가 빠르게 갈 때 브라운 운동은 더 많은 “유효 시간”을 얻어 큰 움직임을 만듭니다. 시계가 멈춰 있을 때는 가격이 거의 움직이지 않습니다.
그 결과: 점프 크기 분포를 명시적으로 지정하지 않아도 시계의 무작위성에서 두꺼운 꼬리가 자연스럽게 생겨납니다. 시계가 빠른 구간은 큰 움직임의 군집을 만듭니다. 느린 구간은 기묘한 고요함을 만듭니다. 이는 유동성이 얇은 크립토 호가창의 실제 모습과 일치합니다 — 아무 일도 없는 긴 구간 뒤에 갑작스러운 활동의 폭발이 이어집니다.
G(t) — 평균 비율 1, 분산 비율 ν인 감마 프로세스입니다. 이것이 랜덤 시계입니다.
θ — 시계 내부의 드리프트 (스큐를 만듭니다).
σ — 시계 내부의 확산 변동성입니다.
아래에서 위쪽 패널은 감마 프로세스 G(t) — 랜덤 시계 — 를 보여줍니다. 점선은 달력 시간 (곧은 대각선)입니다. G(t)가 대각선 위로 뛰어오르면 시간이 빠르게 흐르고 있는 것입니다. 아래쪽 패널은 그 결과인 VG 프로세스 — 랜덤 시간 G(t)에서 평가된 브라운 운동 — 를 보여줍니다.
시계를 더 불규칙하게 만들려면 ν 값을 높여 보세요. VG 프로세스가 어떻게 더 거칠어지는지 — 더 큰 움직임, 더 많은 군집 — 지켜보세요. 이것이 두꺼운 꼬리(fat tail)의 메커니즘입니다.
재생 속도가 변하는 영화를 생각해 보세요. 어떤 장면은 슬로모션으로 재생됩니다 (조용한 시장). 어떤 장면은 빨리 감기로 재생됩니다 (패닉 매도, 청산 연쇄). 원본 필름은 일반 브라운 운동입니다. 속도 조절 장치가 감마 프로세스입니다. 관객이 보는 것 — VG 프로세스 — 에는 속도 변화의 모든 드라마가 그대로 담겨 있습니다.
세 가지 파라미터
VG는 모든 스마일 모형 중 가장 깔끔한 파라미터 해석을 갖습니다. 각 파라미터는 정확히 하나의 통계적 모멘트에 대응합니다. 중복도 없고, 상관관계로 인한 골칫거리도 없습니다.
σ (시그마) — 확산 변동성. 랜덤 시계 내부 브라운 운동의 변동성입니다. 스마일의 전체 수준을 제어합니다. σ가 높을수록 전체가 올라갑니다. 이는 블랙-숄즈 변동성에 대응하는 파라미터입니다.
θ (세타) — 종속된 BM의 드리프트. 스큐를 제어합니다. 만약 θ < 0이면 프로세스가 랜덤 시계 내부에서 하락 방향으로 드리프트하며, 스마일이 기울어집니다 — 풋 윙이 콜 윙보다 가파릅니다. 만약 θ = 0이면 스마일은 대칭입니다.
ν (뉴) — 감마 시간의 분산. 초과 첨도 (꼬리의 두께)를 제어합니다. ν 가 높을수록 시계가 더 무작위해지고, 이는 더 두꺼운 꼬리와 양쪽 모두 더 가파른 윙을 만듭니다. VG를 블랙-숄즈와 구분 짓는 파라미터입니다.
세 가지 실험:
1. Set θ = 0, ν = 0.01. 거의 평평한 스마일 — 블랙-숄즈에 가깝습니다. 시계가 거의 결정적입니다.
2. Set θ = −0.15, ν = 0.20. 완만한 첨도를 동반한 음의 스큐. 전형적인 크립토 스마일 형태입니다.
3. Set θ = 0, ν = 0.50. 대칭이지만 극단적인 첨도. 양쪽 윙이 모두 치솟습니다. “블랙 스완 국면.”
σ → 분산 (2차 모멘트). θ → 왜도 (3차 모멘트). ν → 초과 첨도 (4차 모멘트). 이는 어떤 점프 모형이나 확률적 변동성 모형보다도 스마일 형태를 가장 깔끔하게 분리한 것입니다. Heston은 서로 상관관계가 있는 5개의 파라미터를 갖습니다. VG는 3개의 직교적인 제어 변수를 갖습니다.
사실 이것은 순수 점프 프로세스이다
시간 변경된 브라운 운동 (매끄러움 + 늘어남)처럼 보이지만, VG 경로는 엄밀히는 순수 점프입니다. 모든 움직임이 점프입니다. 달력 시간에는 연속적인 확산 성분이 존재하지 않습니다.
이는 Merton과 철학적으로 다릅니다. Merton에서는 가격이 대부분의 시간 동안 매끄럽게 움직이고 (확산), 가끔 큰 점프가 일어납니다. VG에서는 모든 움직임이 불연속적입니다. 이 프로세스는 무한 활동성 (임의의 구간에 무한히 많은 점프)을 갖지만 유한 변동 (총 점프 크기는 유계)을 갖습니다.
이러한 점프의 대부분은 아주 작습니다. 몇몇은 큽니다. 수많은 작은 점프의 극한에서 경로는 거의 연속인 것처럼 보입니다 — 매끄러운 곡선으로 잘 근사됩니다. 하지만 충분히 확대해 보면 모든 움직임이 엄밀히는 점프입니다. 인접한 두 가격은 연속 경로로 연결되어 있지 않습니다.
왼쪽 패널은 계단 함수로 그려진 VG 경로를 보여줍니다 — 모든 시간 스텝이 별개의 점프입니다. 오른쪽 패널은 드문 큰 점프 (빨간 막대) 사이에 매끄러운 확산이 있는 Merton 경로를 보여줍니다. 재생성을 눌러 비교해 보세요:
VG: 끊임없는 작은 점프, 가끔 큰 점프. 매끄러운 구간이 없습니다. 경로가 모든 곳에서 흔들립니다.
Merton: 긴 매끄러운 구간이 갑작스러운 수직 점프로 끊깁니다. 두 개의 뚜렷이 구분되는 국면 (평온 vs 충격).
순수 점프 세계에서 델타헤지는 구조상 불완전합니다 — 가격 자체가 불연속이므로 연속적으로 거래할 수 없습니다. 이는 확산 부분은 완벽하게 헤지할 수 있고 드문 점프만 헤지 불가능하다고 주장하는 Merton보다 사실 더 정직합니다. 유동성이 얇은 크립토 호가창에서는 모든 체결이 사실상 점프입니다. VG는 그 현실을 인정합니다.
특성함수
VG는 깔끔한 닫힌 형태의 특성함수를 갖습니다. 이것이 푸리에 프라이싱을 실용적으로 만듭니다 — 몬테카를로 없이 유럽형 옵션을 빠르고 정확하게 프라이싱할 수 있습니다.
σ는 u² 항을 통해 들어갑니다 (분산 기여).
θ는 iu 항을 통해 들어갑니다 (허수부를 통한 스큐).
ν는 지수 −T/ν 와 밑(base)을 통해 들어갑니다 (첨도).
When ν → 0: the exponent → −∞, 그리고 CF는 BS 로그정규 CF로 수렴합니다. VG는 BS를 극한의 경우로 포함합니다.
프라이싱 워크플로: 이 CF를 Carr-Madan (1999) 공식이나 COS 방법에 대입하고 고속 푸리에 변환 (FFT)을 적용합니다. 모든 행사가격에 대한 옵션 가격을 한 번에 얻습니다 — 행사가별 계산도, 시뮬레이션 노이즈도 없습니다.
지수 −T/ν는 음수이며 T가 커질수록 더 음수가 됩니다. 이는 만기가 길수록 CF가 더 빨리 감쇠함을 의미하며, 시간이 지남에 따라 VG 스마일이 평평해지는 것에 대응합니다. 시계의 무작위성은 긴 시간 지평에서 평균화됩니다 — 자연스러운 기간구조 효과입니다.
실전에서의 VG
VG는 업계 표준이 아닙니다 — Bates(Heston + 점프)가 주식 및 크립토 데스크를 지배합니다. 하지만 VG의 종속(subordination) 아이디어는 곳곳에 등장하며, 이 모델은 특정한 틈새 영역을 가지고 있습니다.
신용파생상품: VG는 원래 신용 모델링에서 인기가 있었습니다. 디폴트는 점프 이벤트입니다. VG의 순수 점프 특성은 불연속적인 페이오프를 깔끔하게 처리합니다. Madan, Carr, Chang(1998)은 부분적으로 신용을 염두에 두고 VG를 도입했습니다.
단순한 스마일 요건의 주식 이색옵션: 명확한 모멘트 해석을 갖춘 3-파라미터 스마일 적합이 필요하다면 VG를 이기기 어렵습니다. 각 파라미터의 효과가 명확하기 때문에 캘리브레이션이 빠릅니다.
유동성이 얇은 크립토 페어: 유동성이 낮은 크립토 페어는 매끄럽게 확산되지 않습니다 — 주문이 체결되면서 한 가격에서 다른 가격으로 갭을 만듭니다. VG의 순수 점프 특성은 그러한 가격 움직임을 어떤 확산 모델보다도 더 정직하게 기술합니다.
종속화(subordination) 아이디어: 달력 시간을 랜덤 시계로 대체한다는 개념은 근본적입니다. 확률적 시계, 비즈니스 타임 모형, 활동 기반 모형, 그리고 CGMY (VG의 일반화)에 등장합니다. VG 옵션을 한 번도 프라이싱하지 않더라도, 시간 변경을 이해하면 다른 모든 모형이 더 명확해집니다.
블랙-숄즈: 평평한 스마일. 연속 경로. 파라미터 1개.
Merton: 드문 큰 점프에서 나오는 스마일. 매끄러운 확산 + 포아송 점프. 파라미터 4개.
Kou: 비대칭 점프에서 나오는 스마일. 독립적인 윙 제어. 파라미터 5개.
Variance Gamma: 랜덤 시계에서 나오는 스마일. 순수 점프, 확산 없음. 모멘트당 하나씩 파라미터 3개.
Heston: 확률적 변동성에서 나오는 스마일. 연속 경로. 파라미터 5개.
Bates: Heston + Merton 점프. 업계의 주력 모형. 파라미터 8개.
다음으로 볼 내용:
Merton 점프-확산 — 확산 + 드문 큰 점프
Kou 점프-확산 — 독립적인 윙을 가진 비대칭 점프
Heston 모형 — 확률적 변동성, 스마일에 대한 또 다른 접근
Bates 모형 — Heston + 점프: 업계의 주력 모형