분산 감마 (Variance Gamma)
분산 감마(Variance Gamma, VG): 확산(diffusion)이 전혀 없습니다. 가격은 점프 사이를 부드럽게 이동하지 않습니다 -- 모든 움직임이 점프입니다. 점프는 랜덤 클럭 위에서 발생합니다. 활동이 활발할 때는 시간이 빠르게 흐르고, 조용한 기간에는 느리게 흐릅니다. 이 랜덤 클럭은 Merton처럼 "점프 크기 분포"가 필요 없이 팻테일을 만들어냅니다. 그 결과로 나오는 변동성 표면은 실제 시장의 스큐와 첨도를 동시에 맞출 수 있습니다.
세 개의 파라미터가 모든 것을 제어합니다: 변동성(sigma), 스큐(theta), 첨도(nu).
랜덤 클럭 아이디어
시장은 랜덤한 속도로 돌아가는 자체적인 내부 클럭을 가지고 있습니다. 바쁜 날: 클럭이 빠르게 째깍거리고, 가격이 많이 움직입니다. 조용한 날: 클럭이 거의 움직이지 않습니다. VG = 랜덤 클럭 위의 블랙-숄즈입니다. 폭락이나 점프 크기에 대한 어떠한 가정도 없이 팻테일과 자연스러운 스마일이 도출됩니다.
파라미터 탐색하기
먼저 "Thin tails"를 시도하여 블랙-숄즈에 가까운 모습을 확인하세요. 그런 다음 nu(첨도)를 높여서 양쪽 날개가 들리는 것을 관찰하세요.
Variance Gamma 스마일 탐색기
"얇은 꼬리"를 선택해 거의 평평한 블랙-숄즈를 확인한 후, ν를 높여 초과 첨도로 인해 날개가 올라가는 모습을 관찰해 보세요.
각 파라미터의 역할
- Sigma (변동성): 클럭이 정상 속도로 째깍거릴 때의 기준 변동성입니다. 이것은 전체적인 수준으로 -- ATM 변동성과 같습니다.
- Theta (스큐): 프로세스의 드리프트입니다. 음의 theta는 주어진 시간 스텝에서 시장이 상승보다 하락하는 경향이 있음을 의미합니다. 이는 풋 스큐를 만들어냅니다 -- 왼쪽 날개가 오른쪽보다 가파릅니다.
- Nu (첨도): 클럭이 얼마나 "랜덤"한지를 제어합니다. 낮은 nu = 클럭이 꾸준히 째깍거림(얇은 꼬리, 블랙-숄즈에 가까움). 높은 nu = 클럭이 매우 불규칙함(팻테일, 가파른 날개). OTM 옵션이 상당히 비싸집니다.
왜 순수 점프인가?
블랙-숄즈와 심지어 Merton도 연속적인 확산 요소를 가정합니다 -- 가격은 대부분의 시간 동안 부드럽게 움직이며, 가끔 점프가 발생합니다. VG는 말합니다: 어쩌면 모든 가격 움직임이 불연속적일지도 모른다. 틱 수준에서 가격은 한 수준에서 다음 수준으로 점프합니다. 거래 사이에 부드러운 경로가 없습니다. 델타헤지는 구조적으로 불완전합니다 -- 페이오프를 연속적으로 복제할 수 없습니다.
이는 크립토 시장이 실제로 어떻게 작동하는지에 대한 좋은 설명입니다 -- 특히 호가창이 얇고 가격이 한 수준에서 다른 수준으로 갭을 만드는 저유동성 페어에서 그렇습니다.
세 개의 파라미터, 세 개의 모멘트
VG는 각 파라미터가 수익률의 통계적 속성에 직접 매핑되기 때문에 우아합니다. Sigma는 분산(2차 모멘트)을 제어하고, theta는 왜도(3차 모멘트)를 제어하며, nu는 초과 첨도(4차 모멘트)를 제어합니다. 중복이 없고, 파라미터 상관관계로 인한 골칫거리도 없습니다.
VG 대 다른 모델들
실전에서의 VG
VG는 전통적인 데스크에서 Heston이나 SABR보다 덜 일반적이지만, 크립토와 신용에서 니치를 가지고 있습니다:
방정식 탐색기
내재변동성, 총 분산, 로그 머니니스, 옵션 가격 사이를 변환하세요.
방정식 탐색기
💡 팁: 답안을 확인하기 전에 각 질문에 대해 스스로 답해보세요.
수학적 직관 쌓기
분산 감마를 처음부터 배우기인터랙티브 레슨 · 사전 지식 불필요이 레슨은 랜덤 클럭 멘탈 모델을 통해 분산 감마를 가르친 다음, theta, sigma, nu가 스큐, 일반적인 움직임 크기, 꼬리 두께를 어떻게 제어하는지 보여줍니다.
참고 자료:
- Black-Scholes -- 확산 전용 기준선
- Merton Jump-Diffusion -- 확산 더하기 점프
- Heston Model -- 확률적 변동성 (확산 기반)
- Interpolation Methods -- 모든 모델 비교