처음부터 배우는 SVI

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섹션 1

SVI란 무엇인가?

SVI는 Stochastic Volatility Inspired의 약자입니다. 단일 만기의 변동성 스마일 형태를 나타내는 5개 파라미터 공식입니다.

대부분의 스마일 모델은 내재변동성 공간에서 작동합니다. SVI는 다릅니다. 로그 머니니스의 함수로 총 내재분산을 파라미터화합니다. 우회처럼 들릴 수 있지만, 실제로는 차익거래 제약 조건을 매우 단순하게 만들어 줍니다.

공식은 다음과 같습니다:

SVI 총 분산

w(k) = a + b(ρ(k − m) + √((k − m)² + σ²))

w(k) is total implied variance = σ_imp² · T. k = ln(K/F) is log-moneyness. Five parameters: a, b, ρ, m, σ.

아래 슬라이더를 움직여 총 분산 곡선이 어떻게 변하는지 확인해 보세요. x축은 로그 머니니스(음수 = 외가격(OTM) 풋, 양수 = 외가격(OTM) 콜)이고, y축은 총 내재분산입니다.

총 분산 w(k)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

왜 “총 분산”인가?

블랙-숄즈(Black-Scholes)는 내재변동성(σ_imp)을 사용합니다. 하지만 변동성은 스마일 형태와 잔존만기 모두에 의존합니다. 총 분산 w = σ_imp² · T는 시간을 분리하여, 만기에 따라 단조 증가하는 값을 남깁니다. 이 단조성이 바로 캘린더 차익거래가 없도록 강제하는 데 필요한 조건입니다.

섹션 2

5개의 파라미터

각 파라미터는 스마일의 기하학적 특성 하나를 제어합니다. 하나씩 클릭하면서 무엇이 변하는지 관찰해 보세요.

점선은 기준선(일반적인 풋 스큐 스마일)입니다. 색이 있는 실선은 강조된 파라미터를 움직였을 때의 변화를 보여줍니다. 나머지는 모두 고정됩니다.

a -- overall variance level

Shifts the entire curve up or down uniformly. Higher a means higher implied volatility everywhere. Think of it as a baseline variance that applies to all strikes.

a (level)0.040

기본값: 0.040점선 = 기준선

윙(wing) 특성: ATM에서 멀어질수록 스마일은 직선에 가까워집니다. 풋 윙 기울기는 b(1 − ρ), 콜 윙 기울기는 b(1 + ρ)입니다. 일반적인 풋 스큐(ρ < 0)에서는 왼쪽 윙이 더 가파릅니다.

점근 기울기

Put wing: b(1 − ρ)     Call wing: b(1 + ρ)

이렇게 유계이고 선형인 윙은 SVI의 핵심 장점 중 하나입니다. 스마일이 결코 터무니없는 값으로 외삽되지 않습니다.

섹션 3

분산에서 변동성으로

SVI는 총 분산 w(k)를 제공합니다. 익숙한 IV 스마일은 제곱근 한 번이면 얻을 수 있습니다.

분산에서 IV로

σ_BS(k) = √(w(k) / T)

총 분산을 잔존만기로 나눈 뒤 제곱근을 취합니다. 그러면 각 행사가의 내재변동성을 얻습니다.

아래 두 곡선은 동일한 SVI 파라미터로 생성됩니다. 왼쪽 패널은 총 분산(SVI가 작동하는 공간), 오른쪽 패널은 내재변동성 스마일(트레이더가 사고하는 공간)을 보여줍니다. 슬라이더를 움직이며 두 곡선이 동시에 갱신되는 것을 확인해 보세요.

총 분산 w(k)

내재변동성 (%)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

분산 곡선이 변동성 곡선보다 더 매끄럽고 “V자 형태”에 가깝다는 점에 주목하세요. 제곱근은 큰 값을 압축하고 작은 값을 늘려서, 변동성 스마일이 더 둥글게 보이게 만듭니다.

실무자에게 중요한 이유: SVI를 피팅할 때는 분산 공간(공식이 정의되는 공간)에서 최적화하지만, 피팅 품질은 IV 잔차(트레이더가 호가하는 공간)를 보고 평가합니다.

섹션 4

무차익 제약 조건

모든 SVI 파라미터 조합이 유효한 것은 아닙니다. 일부 조합은 무차익 조건을 위반하는 스마일을 만듭니다. 아래 위젯으로 그 경계를 찾아보세요.

세 가지 핵심 제약 조건이 있습니다. 어느 하나라도 위반되면 무위험 수익 기회가 존재하며, 이는 그 스마일이 실제 시장의 위험 가격이 될 수 없음을 의미합니다.

버터플라이 제약

b(1 + |ρ|) ≤ 4/T

음의 국소 분산을 방지합니다. 이 조건이 깨지면 버터플라이 스프레드의 비용이 음수가 됩니다 — 무위험 수익입니다.

비음수 최솟값

a + bσ√(1 − ρ²) ≥ 0

스마일의 최솟값은 0보다 커야 합니다. 음의 총 분산은 물리적으로 불가능합니다.

Roger Lee 모멘트 공식

b(1 + |ρ|) ≤ 2

윙이 커질 수 있는 속도를 제한합니다. 실무에서는 단기 옵션의 경우 버터플라이 제약이 더 구속적입니다.

아래 프리셋을 시도한 뒤 슬라이더를 움직여 경계를 확인해 보세요. 제약 조건이 하나라도 위반되면 곡선이 빨간색으로 바뀝니다.

Butterfly: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 48.7Min variance: 0.0782 ≥ 0Lee moment: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 2

차익거래 없음 — 이 스마일은 안전합니다

a (level)0.040

b (angle)0.200

ρ (rotation)-0.30

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.200

섹션 5

캘리브레이션

시장에서 관측된 내재변동성이 주어졌을 때, 이를 가장 잘 재현하는 5개의 SVI 파라미터를 찾아보세요. 직접 손으로 시도해 보세요.

주황색 원은 합성 시장 호가로, 만기 30일(DTE)의 현실적인 BTC 스마일입니다. 초록색 곡선은 SVI 피팅 결과입니다. 세로선은 각 지점의 잔차(오차)를 나타냅니다.

슬라이더를 조정해 RMSE를 최소화해 보세요. “최적 피팅 보기”를 누르면 최적에 가까운 파라미터 세트를 볼 수 있습니다.

RMSE44.82%(미흡)

SVI 적합시장 데이터잔차

a (level)0.040

b (angle)0.150

ρ (rotation)-0.10

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.250

실무에서는: 수치 최적화기(Levenberg-Marquardt 또는 SLSQP)가 만기당 10 ms 이내에 이 작업을 수행합니다. 최적화기는 섹션 4의 차익거래 제약 조건을 적용하면서 가중 잔차 제곱합을 최소화합니다.

초기값이 중요합니다: 잘못된 초기 추정값은 최적화기를 국소 최솟값에 가둘 수 있습니다. 일반적인 방법: a는 ATM 분산에서, b는 관측된 윙 기울기에서 설정하고, ρ ≈ −0.3, m ≈ 0, σ ≈ 0.1로 시작합니다.

다음 학습 경로:

SVI 레퍼런스 페이지 — 전체 파라미터 표, 피팅 세부 사항, 변형 모델

ORC Wing (Jump-Wing) — 트레이더를 위해 재파라미터화된 SVI

SSVI — SVI를 전체 변동성 표면으로 확장