SVI 파라미터화

정보

이 페이지는 SVI 모델을 심층적으로 다룹니다. 변동성 표면 파이프라인에서 SVI가 어떤 역할을 하는지에 대한 맥락은 표면 구축 방법을 참고하세요. 다른 방법들과의 비교는 보간 방법을 참고하세요.

**SVI (Stochastic Volatility Inspired)**는 크립토 및 주식 옵션에서 변동성 스마일을 피팅하는 업계 표준입니다. 5개의 파라미터를 사용하여 단일 만기에서의 스마일 형태를 기술합니다. 이 이름은 그 함수 형태가 단순화된 확률적 변동성 모델로부터 유도될 수 있다는 사실에서 유래했습니다.

파라미터 탐색하기

아래에서 각 파라미터를 조정하여 스마일이 어떻게 변하는지 확인해 보세요. 프리셋을 사용하면 일반적인 구성 간에 빠르게 이동할 수 있습니다.

SVI 파라미터 탐색기

주식/암호화폐의 전형적인 스마일입니다. 풋 윙이 높습니다.

a (수준)0.040

스마일 전체를 위아래로 이동시킵니다

b (기울기)0.250

윙의 가파른 정도를 결정합니다

ρ (스큐)-0.40

음수 = 풋 스큐, 양수 = 콜 스큐

m (이동)0.00

스마일 최저점의 위치를 결정합니다

σ (곡률)0.200

작으면 뾰족한 V, 크면 완만한 U

ATM IV

104.6%

풋 윙 기울기

0.350

콜 윙 기울기

0.150

각 파라미터의 역할

• a (레벨): 스마일 전체를 위아래로 이동시킵니다. $a$가 높을수록 전체 IV가 높아집니다. 분산의 "기준선"이라고 생각하면 됩니다.
• b (기울기): 윙(wing)이 얼마나 가파른지 제어합니다. $b$가 높을수록 윙이 가팔라지며, 이는 외가격 (OTM) 옵션이 더 비싸진다는 뜻입니다.
• $\rho$ (스큐): 스마일을 기울입니다. 음의 $\rho$ = 풋 스큐 (일반적). 양의 $\rho$ = 콜 스큐 (드묾). 0 = 대칭.
• m (이동): 스마일의 최저점을 좌우로 이동시킵니다. 보통 0에 가깝습니다 (최저점이 등가격 (ATM) 근처).
• $\sigma$ (곡률): 스마일 바닥의 둥근 정도를 제어합니다. $\sigma$가 작으면 뾰족한 V자 형태, 크면 부드러운 U자 형태가 됩니다.

윙(wing) 거동

ATM에서 멀리 벗어날수록 스마일은 직선에 가까워집니다. 기울기는 다음과 같습니다.

• 풋 윙 (왼쪽): 기울기 = $b(1 - \rho)$
• 콜 윙 (오른쪽): 기울기 = $b(1 + \rho)$

일반적인 풋 스큐($\rho < 0$)에서는 풋 윙이 콜 윙보다 가파릅니다. 이러한 유계(bounded)의 선형 윙 거동은 SVI의 핵심 장점 중 하나입니다. 절대로 터무니없는 값으로 외삽되지 않습니다.

시장 데이터에 피팅하기

단일 만기에서 서로 다른 행사가격에 대해 관측된 IV 값들이 주어지면, SVI는 이를 가장 잘 재현하는 5개의 파라미터를 찾습니다.

과정:

1. 목표 만기에서 모든 IV 관측치를 수집합니다 (보통 5~15개의 데이터 포인트).
2. 각각을 총 분산으로 변환합니다: 관측된 IV의 제곱에 잔존 만기를 곱합니다.
3. 가중 최소제곱 최적화기를 실행하여 SVI 곡선과 관측치 간의 차이를 최소화하는 파라미터를 찾습니다.
4. 신뢰도에 따라 가중치를 부여합니다: ATM 옵션은 더 큰 가중치 (유동성이 높음), 매수호가/매도호가 스프레드가 좁은 경우 더 큰 가중치 (더 신뢰할 수 있음), 깊은 외가격 (OTM)은 더 작은 가중치를 받습니다.
5. 최적화 과정에서 무차익거래 제약조건을 적용합니다 (아래 참조).

속도: 단일 만기의 피팅은 10밀리초 이내에 완료됩니다. 전체 표면 (모든 만기)은 호가가 갱신될 때마다 실시간으로 재구축됩니다.

무차익거래 제약조건

SVI는 차익거래를 방지하도록 제약할 수 있습니다. 이 제약조건들은 파라미터에 대한 단순한 부등식입니다.

버터플라이 제약조건 (음의 국소 분산 방지):

어떤 버터플라이 스프레드도 무위험 수익이 되지 않을 만큼 스마일이 충분히 볼록해야 합니다. 이를 위해 다음이 필요합니다.

$b(1 + |\rho|) \leq \frac{4}{T}$

최저점에서의 비음(非陰) 분산:

스마일의 최저점이 0보다 커야 합니다.

$a + b\sigma\sqrt{1 - \rho^2} \geq 0$

캘린더 제약조건 (만기 간):

총 분산은 모든 행사가격에서 만기가 길어질수록 증가해야 합니다. 이는 연속된 만기 슬라이스 사이의 모든 $k$에 대해 $w_1(k) \leq w_2(k)$를 확인하여 적용됩니다.

변형 모델

SVI에는 두 가지 중요한 변형이 있으며, 각각 별도의 페이지에서 다룹니다.

**ORC Wing (Jump-Wing)**은 SVI를 트레이더 친화적인 값들로 재파라미터화합니다: ATM 분산, ATM 스큐, 풋 윙 기울기, 콜 윙 기울기, 최소 분산. 같은 스마일에 다른 조절 손잡이라고 할 수 있습니다. 스마일을 수동으로 편집할 때 유용합니다.

**SSVI (Surface SVI)**는 SVI를 전체 표면으로 확장하여, 구조적으로 캘린더 차익거래가 없음을 보장합니다. 각 만기를 독립적으로 피팅하는 대신, SSVI는 공유 스큐 파라미터와 스마일 가파름 함수를 통해 만기들을 연결합니다. 자유도는 적지만, 만기 간 사후 조정이 필요 없습니다.

방정식 탐색기

SVI는 총 분산과 로그 머니니스로 작동합니다. 이 도구를 사용하여 IV, 총 분산, 행사가격 표현 간에 변환해 보세요.

방정식 탐색기

k = ln(K / F)로그 머니니스 = ln(행사가 / 선도가격)

행사가 (K)

$

옵션의 행사가격

선도가격 (F)

$

선도가격 (단기물은 ≈ 현물)

로그 머니니스 (k)

-0.0513

머니니스 (K/F)

0.9500

유형

-5.0% OTM 풋

로그 머니니스는 SVI와 대부분의 파라메트릭 모델이 사용하는 x축입니다. k = 0은 ATM, 음의 k는 OTM 풋 쪽, 양의 k는 OTM 콜 쪽입니다.

왜 SVI인가?

• 5개의 파라미터만으로 관측되는 거의 모든 스마일을 피팅할 수 있습니다. 스플라인보다 파라미터가 적고, 3-파라미터 모델보다 유연합니다.
• **유계 윙(bounded wings)**은 폭주하는 외삽을 방지합니다. SVI가 할 수 있는 최악의 경우도 유한한 기울기로의 외삽입니다.
• 단순한 제약조건만으로 버터플라이 차익거래가 없음을 보장합니다. 부등식 두 개면 충분합니다.
• 빠른 피팅 덕분에 시장이 움직일 때 표면을 실시간으로 갱신할 수 있습니다.
• 크립토 (Deribit, Hypercall)와 대부분의 주식 변동성 데스크에서 사용하는 업계 표준입니다.

수학적 직관 쌓기

SVI를 처음부터 배우기인터랙티브 학습 · 5개 섹션 · 사전 지식 불필요

위의 인터랙티브 레슨은 SVI를 기초 원리부터 다룹니다: SVI가 무엇을 파라미터화하고 왜 그렇게 하는지, 5개 파라미터 각각의 개별 효과, 분산-변동성 변환, 무차익거래 제약조건, 그리고 시장 데이터에 대한 실습 캘리브레이션까지 포함합니다.

오픈소스 구현

저장소	살펴봐야 할 이유
SVI-Vol-Surface	시각화가 포함된 Python SVI 캘리브레이션
QuantLib	C++로 구현된 SVI 파라미터화

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SVI 변형 모델: ORC Wing (Jump-Wing) | SSVI (Surface SVI)

참고 자료: 표면 구축 방법 | 보간 방법 | SABR 모델 | 스큐