기초부터 배우는 확률적 로컬 변동성
1/5로컬 변동성은 가격은 맞지만 다이내믹스는 틀립니다
Dupire의 로컬 변동성 모델은 놀라운 일을 합니다: 시장의 모든 바닐라 옵션 가격에 동시에 완벽하게 캘리브레이션됩니다. 캘리브레이션 오차는 0입니다. 문제는 그다음에 벌어지는 일입니다.
로컬 변동성은 모든 스팟 수준과 모든 시점에 고유한 변동성 σ(S, t)를 부여합니다. 관측된 바닐라 가격 표면이 주어지면, 이를 모두 재현하는 로컬 변동성 함수는 정확히 하나뿐입니다. 이 구성은 결정론적입니다 -- 최적화도, 잔차 오차도 없습니다.
그렇다면 무엇이 문제일까요? 다이내믹스입니다. 로컬 변동성은 스팟이 움직일 때 스마일이 어떻게 변화할지 예측하는데, 그 예측이 크게 빗나갑니다.
스팟이 5% 하락하면 로컬 변동성은 왼쪽 윙에서 스마일이 평탄해진다고 말합니다. 모델은 더 낮아진 스팟을 읽고 σloc의 다른 슬라이스를 참조하는데, 그곳이 마침 더 평탄할 뿐입니다. 하지만 실제 시장에서는 정반대의 일이 일어납니다: 5% 급락은 스마일을 가팔라지게 만듭니다. 실현 변동성이 상승하고 하방 보호에 대한 수요가 증가하기 때문입니다.
로컬 변동성은 오늘의 스마일을 완벽하게 담은 사진입니다. 하지만 사진은 움직이지 않습니다. 현물이 이동하면, 로컬 변동성은 동일한 정적 테이블에서 다른 열을 조회하여 새로운 스마일을 예측합니다. 한편 시장은 이미 테이블 전체를 다시 가격 매겨 놓은 상태입니다.
이는 이색옵션에서 중요합니다. 배리어 옵션은 스팟이 배리어 근처에 있을 때 스마일이 어떤 모습인지에 의존합니다 -- 오늘의 모습만이 아닙니다. 모델이 미래 스마일을 잘못 예측하면 배리어를 잘못 프라이싱하고 잘못 헤지하게 됩니다.
확률적 변동성은 다이내믹스는 맞지만 가격은 틀립니다
Heston, SABR 및 그 사촌 모델들은 변동성을 자체 확률 프로세스를 가진 확률변수로 취급합니다. 이는 현실적인 스마일 진화를 만들어 냅니다: 현물이 하락하면 변동성이 상승하고 스마일이 가팔라집니다. 하지만 오늘의 바닐라 가격에 대한 피팅은 잘해야 근사적일 뿐입니다.
Heston 같은 모델에는 자유 파라미터가 5개 있습니다. 숫자 5개로 모든 행사가와 만기에 걸친 수백 개의 관측된 옵션 가격을 동시에 맞출 수는 없습니다. 적합은 항상 타협입니다 -- ATM 부근에서는 괜찮지만 윙으로 갈수록 점점 나빠집니다.
파라미터를 더 추가할 수도 있지만(더블 Heston, 점프가 있는 Bates) 격차를 완전히 메우지는 못합니다. 항상 어느 정도의 캘리브레이션 잔차가 남습니다. 바닐라 프라이싱과 마켓메이킹에서 그 잔차는 테이블 위에 남겨둔 돈입니다.
위의 세 패널이 이야기를 들려줍니다. 스팟이 5% 하락한 후:
로컬 변동성은 스마일이 평탄해진다고 예측합니다 -- 틀렸습니다.
확률적 변동성는 스마일이 가팔라진다고 예측합니다 -- 맞지만, 애초에 오늘의 스마일을 완벽하게 맞추지 못했다는 점에 주목하십시오.
SLV는 둘 다 잡습니다: 오늘의 완벽한 적합에서 출발해 현실적으로 변화합니다.
바닐라를 호가한다면 로컬 변동성이 이깁니다 -- 바닐라를 정확히 프라이싱하니까요. 스팟이 움직일 때 포지션 북이 어떻게 움직이는지가 중요하다면 확률적 변동성이 이깁니다 -- 현실적인 그릭스를 예측하니까요. 이색옵션 프라이싱에는 둘 다 필요합니다. 바로 여기서 SLV가 등장합니다.
SLV는 둘을 결합합니다
확률적 로컬 변동성은 두 개의 엔진을 병렬로 구동합니다. 로컬 변동성 성분이 캘리브레이션을 담당합니다. 확률적 성분이 현실적인 다이내믹스를 더합니다. 혼합 비율 α가 그 배합을 조절합니다.
Second line: L은 vol-of-vol ν 에 의해 구동되는 자체 확산을 따릅니다.
Special cases: ν = 0일 때 L은 결정론적이며 순수 로컬 볼로 돌아갑니다. σloc 가 상수일 때는 순수 확률적 볼로 돌아갑니다. 혼합 비율 α 는 전체 분산 중 각 구성 요소에서 나오는 비중을 제어합니다.
직관은 이렇습니다: σloc(S, t)는 이미 시장에 캘리브레이션된 Dupire 함수입니다. 여기에 확률적 L을 곱하면 캘리브레이션을 파괴하지 않으면서 다이내믹스를 교란합니다 -- 그 교란이 평균적으로 상쇄되도록 L이 캘리브레이션되어 있는 한 그렇습니다. 바로 그 L의 캘리브레이션이 레버리지 함수가 하는 일입니다.
혼합 비율 α (종종 vol-of-vol 파라미터에 내장됨)는 얼마만큼의 무작위성이 L로 가는지 아니면 σloc 에 남는지를 결정합니다. 한쪽 극단(α = 0)에서는 모든 분산이 로컬 볼로 설명되며 스마일 동역학은 결정론적입니다. 반대쪽 극단(α = 1)에서는 로컬 볼이 평평하고 확률 과정이 모든 것을 구동합니다.
위 슬라이더를 드래그해 보세요. 예측된 미래 스마일을 관찰하세요:
α = 0 (순수 로컬 볼): 미래 스마일이 오늘 대비 거의 움직이지 않습니다. 왼쪽 윙이 약간 평탄해집니다. 이것이 로컬 변동성의 병리적 특성입니다.
α = 1 (순수 확률적 볼): 미래 스마일이 급격히 가팔라집니다. 변동성이 전 구간에서 뛰어오릅니다. 현실적이지만 과잉 보정일 수 있습니다.
α = 0.5 (균형): 중간 지점입니다. 스마일이 가팔라지되 완만하게 가팔라집니다. 대부분의 실무 캘리브레이션이 도달하는 지점입니다.
레버리지 함수
L(S, t)는 캘리브레이션의 접착제입니다. 모든 확률적 경로에 대해 평균한 기대 로컬 변동성이 시장과 일치하도록 계산됩니다. 혼합이 균형을 이루면 L은 모든 곳에서 1에 가깝게 유지됩니다. 한 성분이 지배하면 L이 더 많은 일을 해야 합니다.
형식적으로 L(S, t)는 다음 조건으로 정의됩니다:
실무에서 L은 전방 PDE(Fokker-Planck) 또는 입자 방법(밀도 추정을 이용한 몬테카를로)을 사용해 수치적으로 계산합니다. 전방 PDE는 (S, L)의 결합 밀도를 시간에 따라 전진시키며 각 격자점에서 L을 추출합니다. 입자 방법은 다수의 경로를 시뮬레이션하고 스팟 수준별로 구간화한 뒤 각 구간 내에서 L을 풉니다.
핵심 통찰: α 가 0.5 근처일 때 두 구성 요소가 부하를 고르게 나누기 때문에 L은 모든 곳에서 1에 가깝습니다. α 가 0 또는 1에 가까울 때는 한 구성 요소가 거의 모든 작업을 수행하고 L이 이를 보완해야 하므로 L에 구조가 생깁니다 -- 윙에서는 봉우리, ATM 근처에서는 골짜기가 나타납니다.
위 히트맵은 스팟과 시간에 걸친 L(S, t)를 보여줍니다. 혼합 슬라이더를 드래그하며 관찰해 보세요:
균형 (α ≈ 0.5): 균일한 어두운 색입니다. L이 모든 곳에서 약 1입니다. 두 성분이 동등하게 기여합니다. 이것이 이상적인 작동 지점입니다.
로컬 볼 우세 (α ≈ 0): 윙에서 L에 따뜻한(주황/빨강) 반점이 생깁니다. 확률적 성분 자체의 분산이 작아, 시장을 맞추기 위해 L이 무거운 짐을 져야 합니다.
확률적 볼 우세 (α ≈ 1): L에 차가운(파랑) 반점이 생깁니다. 확률적 성분이 일부 영역에서 과도하게 움직여 L이 이를 끌어내려야 합니다.
이색옵션 프라이싱의 표준
SLV는 주요 은행들이 배리어, 아시안, 클리켓에 실제로 사용하는 모델입니다. 바닐라에 캘리브레이션되면서 동시에 방어 가능한 이색옵션 가격을 산출하는 유일한 모델이기 때문에 실무 표준입니다.
배리어. 녹아웃 옵션은 스팟이 배리어에 닿으면 소멸합니다. 그 가치는 배리어 수준 근처에서 스마일이 어떤 모습인지에 결정적으로 의존합니다. 로컬 변동성은 그곳에서 틀린 스마일을 냅니다. 확률적 변동성은 다이내믹스는 맞지만 시작 가격이 틀립니다. SLV는 둘 다 맞습니다 -- 그 결과 배리어 가격은 로컬 변동성 대비 명목금액의 몇 %까지 차이가 날 수 있습니다.
아시안. 아시안 옵션은 일정 기간에 걸쳐 스팟을 평균합니다. 평균화가 스마일 다이내믹스의 영향을 완화하므로 여기서는 SLV와 로컬 변동성의 차이가 더 작습니다. 하지만 여전히 0은 아니며, 큰 명목금액을 거래하는 데스크는 이를 중요하게 여깁니다.
클리켓. 주기적으로 리셋되는 포워드 스타팅 옵션입니다. 이들은 포워드 스마일 -- 각 리셋 날짜에 스마일이 어떤 모습일지 -- 에 극도로 민감합니다. 클리켓(cliquets)은 본질적으로 스마일 동태에 대한 베팅이므로 SLV의 이점이 여기서 가장 큽니다.
SLV는 공짜가 아닙니다. 확률적 변동성 파라미터가 바뀔 때마다 레버리지 함수를 다시 계산해야 하므로 캘리브레이션이 반복 과정이 됩니다: 확률적 변동성 파라미터 적합, L 계산, 바닐라 적합 확인, 조정, 반복. 이 외부 루프는 계산 비용이 크며, 모델 리스크를 유발하는 선택이 바로 α.
혼합 비율의 선택 자체가 판단의 문제입니다. 서로 다른 α 값은 동일한 바닐라를 맞추면서도 서로 다른 이색 옵션 가격을 만들어냅니다. 은행은 일반적으로 α 를 유동성 있는 이색 옵션 거래(예: FX의 배리어 리버설)에 캘리브레이션하거나 스마일 동역학이 자신들의 북에 얼마나 중요한지에 대한 전문가 판단으로 설정합니다.
모델 리스크. 혼합 비율은 실무 이색옵션 프라이싱에서 가장 중요한 단일 모델 리스크 파라미터입니다. 서로 다른 α 값으로 SLV를 사용하는 두 데스크는 모든 바닐라에서는 일치하지만 배리어에서는 의견이 갈립니다. 이는 버그가 아닙니다 -- 스마일이 어떻게 변화할지에 대한 진정한 불확실성을 반영하는 것입니다.
크립토에서는: 이색옵션 시장 규모가 작고 바닐라 표면 자체에 노이즈가 많아 크립토에서는 SLV가 덜 일반적입니다. 대부분의 크립토 데스크는 표면 적합에 SVI 또는 SSVI를 사용하고, 경로 의존형 상품에는 로컬 변동성이나 직접 시뮬레이션을 사용합니다. 크립토 옵션 시장이 성숙해지면 SLV의 중요성도 커질 것입니다.
다음으로 볼 내용:
Local Volatility -- Dupire 모델 상세
Heston Model -- SLV 내부에서 가장 흔히 사용되는 확률적 변동성 엔진
SABR Model -- 평균회귀가 없는 확률적 변동성, 금리 시장에서 인기
Vanna-Volga -- 세 개의 시장 호가로 스마일을 구성하는 더 간단한 방법