처음부터 배우는 SSVI
1/4SVI에서 SSVI로
SVI 는 단일 만기의 변동성 스마일 하나를 피팅합니다. 이 작업 자체는 잘 해냅니다 -- 5개의 파라미터, 깔끔한 형태. 하지만 변동성 표면에는 여러 만기가 겹겹이 쌓여 있습니다. 각 슬라이스를 독립적으로 피팅하면 문제가 생깁니다.
각 슬라이스를 자체 SVI 파라미터로 피팅할 때, 총 분산이 모든 행사가에서 한 만기에서 다음 만기로 증가한다는 것을 보장하는 것은 아무것도 없습니다. 그렇지 않다면, 다음이 발생합니다 캘린더 스프레드 차익거래 -- 단기 옵션을 매도하고 장기 옵션을 매수하는 무위험 수익 거래입니다.
SSVI는 표면 전체를 하나의 파라미터화로 구축하여 이 문제를 해결합니다. 슬라이스마다 5개의 파라미터를 쓰는 대신, 표면 전체가 다음에 의해 결정됩니다:
슬라이스별 SVI는 건물의 각 층마다 서로 다른 건축가를 두는 것과 같습니다. 각 층은 훌륭해 보일 수 있지만, 층 사이의 계단이 맞지 않을 수 있습니다. SSVI는 건물 전체에 건축가 한 명을 고용합니다 -- 개별 층의 맞춤화는 조금 덜하지만, 모든 것이 연결됩니다.
SSVI 파라미터화
공식 하나. 조절값 세 개. 아래 슬라이더를 움직이며 스마일이 변형되는 모습을 확인해 보세요.
각 파라미터를 조절해 보며 무엇을 제어하는지 감을 잡아 보세요:
θ 는 전체 레벨을 이동시킵니다 -- ATM 분산이 높아지면 스마일 전체가 위로 올라갑니다. ρ 는 스마일을 기울입니다 -- 음의 ρ 는 트레이더들이 기대하는 풋 스큐를 만듭니다. φ 는 윙의 폭을 제어합니다.
캘린더 스프레드 차익거래
SSVI의 핵심은 구조 자체로 캘린더 차익거래를 배제한다는 점입니다. 단, φ 가 올바르게 선택된 경우에만 성립합니다.
캘린더 스프레드 차익거래란 어떤 행사가에서 총분산이 짧은 만기에서 긴 만기로 갈수록 감소 하는 것을 뜻합니다. 공정한 시장에서는 있을 수 없는 일입니다 -- 그대로 무위험 수익이 되기 때문입니다.
아래에서, 나쁜 선택인 φ (상수형, 만기 무시)와 좋은 거듭제곱 형태를 비교해 보세요. 왼쪽 패널의 슬라이더를 드래그하며 위반 표시기를 확인하세요.
상수형 φ 는 모든 만기에서 스마일을 똑같이 가파르게 유지합니다. θ 가 커질수록, 가파른 스마일 때문에 윙의 총분산이 짧은 만기에서는 필요 이상으로 높아지고 긴 만기에서는 충분히 높아지지 못해 교차가 발생합니다.
거듭제곱 형태의 φ 는 θ 가 커질수록 감쇠하여, 긴 만기에서 스마일을 자연스럽게 평탄화합니다. 그 결과 w(k, θ)가 θ 에 대해 모든 k에서 단조 증가함이 보장됩니다.
거듭제곱 형태
파라미터 두 개가 표면 전체를 제어합니다. 이것이 SSVI가 부과하는 모든 제약에 대한 보상입니다.
아래 슬라이더를 움직여 보세요. 히트맵이 변하는 모습을 관찰하세요 -- x축은 로그 머니니스, y축은 만기, 색상은 내재변동성입니다.
η 는 스마일 진폭을 전체적으로 조정합니다. 값을 올리면 모든 만기에서 윙이 넓어집니다. γ 는 만기에 따라 스마일이 평탄해지는 속도를 바꿉니다. 낮은 γ 에서는 장기 스마일이 가파르게 유지되고, 높은 γ 에서는 빠르게 평탄해집니다.
세 개의 파라미터 (ρ, η, γ) 와 관측된 ATM 분산 곡선 θ(t). 이것이 표면 전체입니다. 슬라이스별 SVI로 다섯 개 슬라이스를 피팅할 때 필요한 25개 이상의 파라미터와 비교해 보세요.