처음부터 배우는 SANOS
1/5파라메트릭 모델에는 형태 편향이 있습니다
SVI, SABR, 다항식 피팅 등 모든 파라메트릭 모델은 공식 계열을 선택하는 데서 시작합니다. 그 계열이 어떤 형태가 가능한지를 결정합니다 — 시장 호가를 단 하나도 보기 전에 말입니다.
SVI에는 5개의 파라미터가 있습니다. 즉 시장 스마일을 맞추기 위한 자유도가 5개라는 뜻입니다. 유동성이 풍부하고 안정적인 시장이라면 5개로 대체로 충분합니다. 스마일은 매끄럽고 대략 포물선 형태이며, SVI는 이를 정확히 맞춥니다.
그러나 시장이 항상 안정적인 것은 아닙니다. 실적 이벤트, 프로토콜 해킹, 규제 관련 뉴스 등은 특정 행사가에서 내재변동성의 국소적인 돌출(bump)을 만들어낼 수 있습니다. 5개 파라미터 곡선은 K=90에서만 돌출을 만들면서 나머지 구간은 평탄하게 유지할 수 없습니다. 하나의 국소적 특징을 반영하려면 곡선 전체를 왜곡해야 합니다.
SANOS는 정반대의 접근을 취합니다. 공식 계열을 고르는 대신, 그리드의 모든 노드에 값을 두고 표면이 어떤 형태를 취할지는 데이터가 결정하게 합니다. 요구 조건은 단 세 가지입니다: 매끄러워야 하고, 무차익 조건을 만족해야 하며, 관측된 매수호가/매도호가를 존중해야 합니다.
SVI는 휘어지는 형판 자를 점들에 맞추는 것과 같습니다. 자는 휠 수는 있지만 꺾일 수는 없습니다. SANOS는 점들 위에 유연한 그물망을 덮는 것과 같으며, 각 교차점이 독립적으로 움직일 수 있습니다. 그물망은 자가 잡아내지 못하는 국소적 특징을 포착할 수 있습니다.
그리드가 공식을 대체합니다
SANOS에서 변동성 표면은 노드 그리드로 정의됩니다: 각 (행사가, 만기) 교차점마다 값 하나가 있습니다. 행사가 9개와 만기 5개면 자유 변수가 45개입니다. 행사가 20개와 만기 5개로 확장하면 100개가 됩니다.
각 노드는 총분산 값(또는 이와 동등한 내재변동성)을 담고 있습니다. 노드 사이의 표면은 보간으로 채워집니다. 파라메트릭 모델과의 핵심 차이는 이 값들을 서로 연결하는 공식이 없다는 점입니다. 각 노드는 자유 변수이며, 무차익 조건과 평활성 조건에만 제약을 받습니다.
아래 그리드는 행사가와 만기에 걸친 내재변동성 값을 보여줍니다. K=90, T=0.25 부근의 국소적 돌출에 주목하세요 — 이는 파라메트릭 모델이 놓치는 유형의 특징입니다. 오른쪽 패널은 선택한 만기의 스마일과 비교를 위해 겹쳐 그린 SVI 최적 피팅을 보여줍니다.
아무 셀이나 클릭해 변동성을 조정해 보세요. 그리드가 국소 구조를 포착하는 곳마다 SANOS 스마일(녹색)이 SVI(노란 점선)에서 벗어나는 것을 확인하세요. SVI는 전역적으로 매끄러움을 유지해야 하지만, 그리드는 데이터를 점 단위로 따라갈 수 있습니다.
SANOS: N_K × N_T nodes → local flexibility
선형 제약으로 표현되는 무차익 조건
자유 변수가 100개라면 가드레일이 필요합니다. SANOS는 그리드 값에 대한 선형 부등식으로 표현된 정적 무차익 조건에서 이를 얻습니다.
핵심 제약은 두 가지입니다:
캘린더 스프레드 제약. 총분산(w = σ^2 × T)은 각 행사가에서 T에 대해 비감소여야 합니다. 만약 감소한다면 같은 행사가에서 단기 옵션을 매도하고 장기 옵션을 매수하는 것만으로 무위험 이익을 얻을 수 있습니다. 그리드에서는 각 열이 위에서 아래로 증가해야 함을 의미합니다.
버터플라이 스프레드 제약. 콜옵션 가격은 각 만기에서 행사가에 대해 볼록해야 합니다. 이는 인접 행사가에 걸친 총분산의 2계 차분이 음이 아니어야 한다는 것과 동치입니다. 이 조건은 물리적으로 불가능한 음의 확률밀도를 방지합니다.
두 제약 조건 모두 그리드 값에 대해 선형입니다. 캘린더: w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) for T_2 > T_1. Butterfly: w(K-1, T) - 2·w(K, T) + w(K+1, T) ≥ 0. 비선형 항도 없고 복잡한 결합도 없습니다. 선형 솔버에 넘길 수 있는 부등식일 뿐입니다.
이것이 그리드 위에서 총분산 공간으로 작업하는 것의 근본적 이점입니다. 내재변동성에서는 비선형이 될 무차익 조건이 총분산에서는 선형이 됩니다. 표면 구성 문제 전체가 선형계획법의 영역에 머무릅니다.
선형계획법이 답을 찾습니다
모든 조각을 모아봅시다: 노드 값은 미지수, 매수호가/매도호가 범위는 박스 제약, 무차익 조건은 선형 부등식, 평활성은 목적함수입니다. 전체가 하나의 선형계획 문제입니다.
LP에는 결정적인 성질이 있습니다: 국소 최솟값이 없다는 것입니다. 가능해 영역은 볼록 다면체이며 최적해는 항상 꼭짓점에 있습니다. SVI 캘리브레이션(비선형이며 초기값에 따라 국소 최솟값에 빠질 수 있음)과 달리, LP는 항상 전역 최적해를 찾습니다.
매수호가/매도호가는 박스 제약을 정의합니다. 관측된 각 행사가에서 총분산은 매수호가 내재값과 매도호가 내재값 사이에 있어야 합니다. 스프레드가 좁을수록 박스는 작아집니다. 스프레드가 넓을수록 SANOS가 매끄럽고 무차익인 표면을 찾을 자유가 커집니다.
제약이 추가될 때마다 가능해 영역(녹색)이 줄어드는 것을 지켜보세요. 양수 조건, 캘린더, 버터플라이, 매수호가/매도호가 — 각 제약이 불가능한 표면들을 깎아냅니다. LP 해(노란 점)는 최종 다면체의 꼭짓점에 위치합니다. 그 꼭짓점은 모든 데이터와 일치하는 가장 매끄러운 무차익 표면임이 보장됩니다.
subject to: bid_i ≤ w_i ≤ ask_i (data)
w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) (calendar)
w(K-1) - 2w(K) + w(K+1) ≥ 0 (butterfly)
SANOS가 이기는 경우와 지는 경우
SANOS가 파라메트릭 모델보다 항상 우월한 것은 아닙니다. 뚜렷한 강점 영역이 있으며, 작동 원리를 아는 것보다 언제 사용해야 하는지를 아는 것이 더 중요합니다.
SANOS가 유리한 경우:
희소한 데이터. 호가가 5개뿐인데 전체 표면이 필요할 때, 파라메트릭 모델은 파라미터를 고정할 만큼 점이 충분하지 않아 어려움을 겪습니다. SANOS는 무차익 제약 자체가 정보를 제공하기 때문에 희소한 데이터로도 표면을 구성할 수 있습니다 — 시장 호가가 없어도 가능해 집합을 좁혀줍니다.
넓은 매수호가/매도호가 스프레드. 중간가에 대한 파라메트릭 피팅은 매수호가/매도호가 범위 밖에 있는 무차익 표면을 만들어낼 수 있습니다. SANOS는 스프레드를 노이즈가 아니라 유용한 정보로 취급합니다. 스프레드가 넓을수록 매끄럽고 무차익인 표면을 찾을 자유가 커집니다.
국소적 특징. 이벤트로 인한 변동성 돌출, 포지션 집중으로 인한 꺾임, 특정 만기에 국한된 효과 등, 5개 파라미터 공식으로 표현할 수 없는 모든 구조가 해당됩니다.
스프레드 슬라이더를 넓혀 SANOS 피팅(녹색)이 중간가(주황 점선)에서 멀어지는 것을 지켜보세요. 둘 다 매수호가/매도호가 막대를 통과하지만, SANOS는 추가 자유도를 활용해 더 매끄럽게 유지됩니다. 스프레드가 좁으면 두 피팅은 수렴합니다.
SANOS가 불리한 경우:
동적 해석이 없습니다. SVI 파라미터(a, b, rho, m, sigma)에는 전체 분산, 스큐 크기, 상관관계, 이동량 같은 경제적 의미가 있습니다. SANOS 노드는 그리드 위의 숫자일 뿐입니다. "스큐가 0.02 상승했다"라고 말할 수 없고, "이 20개 노드가 움직였다"라고밖에 말할 수 없습니다.
저장과 전달. SVI 표면은 만기당 숫자 5개라 저장과 전송이 매우 간단합니다. SANOS 표면은 수백 개의 노드 값입니다. 데이터베이스, 캐시, 통신 프로토콜에서는 이 차이가 중요합니다.
실전 검증 이력. SVI는 20년 이상 사용되어 왔습니다. SANOS는 더 최신입니다. 안정성과 팀의 숙련도가 중요한 프로덕션 시스템에서는 이것이 실질적인 비용입니다.
실무적 패턴은 이렇습니다: 국소적 정확도가 중요한 피팅과 프라이싱에는 SANOS를, 간결성이 중요한 저장과 전달에는 SVI를 사용합니다. 두 모델은 서로를 보완합니다.
다음으로 볼 내용:
SVI 파라미터화 — SANOS가 보완하도록 설계된 파라메트릭 모델
SABR 모델 — 동적 해석이 가능한 확률적 변동성 모델
처음부터 배우는 로컬 변동성 — 내재변동성에서 로컬 변동성 표면을 추출하는 방법
보간 방법 — 모든 방법 비교