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SANOS (비모수 표면)

SANOS는 변동성 표면을 구축하는 데 있어 다른 접근 방식을 취합니다. 몇 개의 조절 변수를 가진 공식을 피팅하는 대신(SVI의 슬라이스당 5개 파라미터처럼), SANOS는 로컬 변동성 노드 격자와 보장된 무차익거래 제약조건을 사용하여 시장 데이터로부터 직접 표면을 구축합니다. 시장이 만들어내는 어떤 형태든 포착할 수 있는 매끄러운 표면 -- 모수 모델이 구조적으로 피팅할 수 없는 국소적 특징까지 포함합니다.

💡
모수 vs. 비모수

SVI와 SABR는 스마일의 형태를 미리 결정합니다(3-5개의 조절 변수를 가진 포물선 유사 형태). SANOS는 형태에 대한 가정을 하지 않습니다. 대신 이렇게 묻습니다: '차익거래를 만들지 않으면서 시장 데이터를 통과하는 가장 매끄러운 표면은 무엇인가?' 이는 시장이 모수적 기대에서 벗어날 때 더 나은 피팅을 만들어냅니다. 각 노드의 내재변동성은 공식의 출력값이 아니라 자유 변수입니다.

직접 확인해 보기​

뷰를 전환하면서 SANOS가 모수적 SVI 피팅과 어떻게 비교되는지, 격자가 어떻게 생겼는지, 차익거래 제약조건이 어떻게 적용되는지 확인해 보세요.

SANOS 표면 구축

74%92%110%8090ATM110120행사가내재변동성 (%)시장 호가SVI (모수적)SANOS (비모수적)
SVI 잔차RMSE: 25.66
SANOS 잔차RMSE: 0.15

SVI(모수적)는 5개의 파라미터를 사용하며 국소적 특징을 놓칠 수 있습니다. SANOS(비모수적)는 차익거래 제약을 준수하면서 시장 호가를 통과합니다.

작동 원리​

1. 공식 대신 변동성 노드 격자​

표면은 각 (행사가, 만기) 지점마다 하나씩 존재하는 로컬 변동성 값의 격자로 표현됩니다. 행사가 15개와 만기 5개라면 SVI의 25개 대신 75개의 자유 변수를 갖게 됩니다. 유연성은 더 크지만, 최적화 도구가 엉뚱한 결과를 만들어내지 않도록 제약조건이 필요합니다.

2. 내장된 무차익거래 제약조건​

두 가지 근본적인 무차익거래 규칙은 격자에 대한 간단한 제약조건으로 변환됩니다:

제약조건
의미
캘린더 스프레드
총분산은 모든 행사가에서 만기가 길어질수록 증가해야 합니다. 캘린더 차익거래를 방지합니다.
버터플라이 스프레드
콜 가격은 행사가에 대해 볼록해야 합니다. 버터플라이 거래로 공짜 수익을 얻을 수 없습니다.
양수성
로컬 변동성은 모든 곳에서 양수여야 합니다. 변동성은 음수가 될 수 없습니다.

핵심은 이것입니다: 로컬 변동성 노드를 변수로 사용하면 이 모든 제약조건이 선형이 됩니다. 즉, 최적화 도구가 매번 이를 완벽하게 강제할 수 있습니다.

3. 선형계획법으로 풀기​

제약조건과 목적함수가 선형이므로, 전체 문제는 선형계획 문제가 됩니다.

  • 지역 최솟값 없음 -- 솔버는 근처의 답이 아니라 항상 최선의 답을 찾습니다
  • 초기값 민감성 없음 -- 좋은 초기 추정값이 필요 없습니다
  • 빠름 -- 최신 LP 솔버는 이를 밀리초 단위로 처리합니다
  • 매수호가/매도호가 네이티브 -- LP는 중간가격이 아닌 범위로서 매수호가/매도호가 스프레드를 자연스럽게 처리합니다
ℹ️
선형계획법이 중요한 이유

SVI와 SABR는 비선형 최적화가 필요합니다: 좋은 시작점이 필요하고 지역 최솟값에 빠질 수 있습니다. SANOS는 이 모든 것을 우회합니다. LP는 항상 전역 최적해를 빠르고 결정론적으로 찾습니다. 모든 행사가와 만기 노드는 단 한 번의 계산으로 캘린더 차익거래와 버터플라이 위반에 대해 동시에 제약됩니다.

매수호가/매도호가 스프레드 처리​

대부분의 모델은 중간가격을 피팅합니다. 그러나 중간가격은 허구입니다 -- 시장은 매수호가와 매도호가를 제시하고, '진짜' 가치는 그 범위 안 어딘가에 있습니다. SANOS는 매수호가/매도호가 범위에 직접 피팅합니다: 모델은 각 지점에서 범위 안에 들어가기만 하면 됩니다. 유동성이 풍부한 호가(좁은 스프레드)는 표면을 강하게 제약합니다. 유동성이 낮은 호가(넓은 스프레드)는 느슨하게 제약합니다. 인위적인 중간가격 편향이 없습니다.

💡
SANOS의 트레이드오프

표면 구축에 있어 가장 유연하고 깔끔한 접근 방식입니다. 설계 자체로 무차익거래를 보장하고, 매수호가/매도호가를 네이티브로 처리하며, 모수 모델이 놓치는 국소적 특징을 포착합니다. 그 대가는: 새롭다는 점(2025년), 동적 해석의 부재(스큐 동학 예측 불가), 더 많은 인프라 필요입니다.

SANOS vs. 모수 모델​

항목
SVI / SSVI
SABR
SANOS
형태 가정
포물선형 날개
CEV 백본
없음
무차익거래 보장
사후 검증
날개 부분 위반 가능
설계 자체로 보장
캘린더 일관성
슬라이스별 (결합은 SSVI)
보장되지 않음
설계 자체로 보장
피팅 방법
비선형 최적화
2-파라미터 최적화
선형계획법 (전역 최적해)
국소적 특징
포착 불가
포착 불가
포착 가능
매수호가/매도호가 처리
중간가격 피팅
중간가격 피팅
네이티브 범위 처리
외삽
유계 (선형 날개)
붕괴 가능
경계 설정에 따름
동적 해석
없음
스티키 델타
없음 (정적)
성숙도
업계 표준
수십 년의 사용 이력
최신 (2025)

강점과 한계​

강점
트레이더에게 갖는 의미
형태 편향 없음
표면 형태가 공식이 아니라 데이터에서 나옵니다. SVI/SABR가 구조적으로 놓치는 시장 특징을 포착합니다.
설계 자체로 무차익거래
사후 수정이 필요 없습니다. 캘린더와 버터플라이 제약조건이 피팅 과정에서 강제됩니다.
LP 피팅 -- 지역 최솟값 없음
결정론적이고 빠르며 항상 전역 최적해를 찾습니다. 좋은 초기 추정값이 필요 없습니다.
매수호가/매도호가 네이티브
시장 호가의 불확실성을 존중합니다. 인위적인 중간가격 편향이 없습니다.
국소적 특징 포착
이벤트 전 변동성 급등, 대규모 미결제약정에 의한 굴곡, 만기 간 구조적 단절 -- 모두 포착합니다.
한계
트레이더에게 갖는 의미
동적 해석 없음
지금의 표면 형태만 알려줄 뿐, 현물이 움직일 때 표면이 어떻게 움직일지는 알려주지 않습니다. 스마일 동학에는 SABR를 사용하세요.
외삽에 주의 필요
관측 범위 안에서는 훌륭하게 피팅되지만, 마지막 유동성 있는 OTM 행사가 너머에서는 경계 조건이 필요합니다.
노드가 많을수록 과적합 위험
파라미터가 많다는 것은 유동성이 얕은 시장에서 노이즈까지 피팅할 수 있다는 뜻입니다. 적절한 평활화가 필수입니다.
새로움 (2025)
SVI와 SABR가 가진 수십 년의 실전 검증이 부족합니다. 예외 상황이 아직 문서화되지 않았을 수 있습니다.
⚠️
모든 것을 대체하지는 않습니다

SANOS는 정적 피팅 문제를 모수 모델보다 잘 해결합니다. 그러나 스마일 동학을 다루지 않고(SABR 사용), 저장을 위한 간결한 표현을 제공하지 않으며(SVI의 슬라이스당 5개 숫자는 이기기 어렵습니다), 더 많은 인프라가 필요합니다. SANOS 표면에서 델타와 베가 같은 그릭스를 계산하려면 격자에 대한 유한차분 범핑이 필요합니다. 이는 표면 피팅의 차세대 기술이지, 모수 모델에 대한 이해를 대체하는 것이 아닙니다.

크립토와의 연관성​

크립토 옵션 시장에는 비모수 접근 방식에 유리한 여러 특징이 있습니다:

  • 드문드문한 불규칙 호가: 모든 행사가에 모든 만기의 호가가 있는 것은 아닙니다. SANOS는 불규칙한 격자를 네이티브로 처리합니다.
  • 넓은 매수호가/매도호가 스프레드: 특히 규모가 작은 기초자산에서 그렇습니다. SANOS는 스프레드를 버리지 않고 제약조건으로 활용합니다.
  • 구조적 이벤트: 토큰 언락, 프로토콜 업그레이드, 에어드롭은 SVI가 포착할 수 없는 국소적 변동성 특징을 만들어냅니다. 이는 특정 만기에서 ATM 변동성 급등으로 나타납니다.
  • 급격한 레짐 변화: 표면 형태는 모수 모델을 재추정하는 속도보다 빠르게 바뀔 수 있습니다. SANOS의 LP 피팅은 이를 따라잡을 만큼 빠릅니다. 기간구조는 장중에도 극적으로 변할 수 있으며, SANOS는 수동 개입 없이 적응합니다.
ℹ️
SANOS와 로컬 변동성 추출

SANOS는 로컬 변동성 노드를 직접 파라미터화하기 때문에 완전한 Dupire 로컬 변동성 표면을 추출하는 것이 아주 간단합니다 -- 피팅된 격자 자체가 곧 로컬 변동성 표면입니다. 이 덕분에 SANOS는 로컬 변동성 동학이 페이오프를 결정하는 경로의존형 이색옵션(배리어, 클리켓)의 가격 산정에 특히 유용합니다. 블랙-숄즈 기반 SVI 같은 모수 모델은 수치적 아티팩트를 유발할 수 있는 별도의 추출 단계가 필요합니다.

수식 탐색기​

내재변동성, 총분산, 로그 머니니스, 옵션 가격 간의 변환을 해볼 수 있습니다.

방정식 탐색기

w = σ2 × Ttotal variance = IV2 × time
%
내재변동성
일
만기까지의 달력 기준 일수
총 분산 (w)
0.022225
연율화 분산 (σ²)
0.2704
역산 IV
52.00%
총 분산은 SVI 등 모델이 피팅하는 대상입니다. 시간에 비례해 커지므로 30일간 50% 변동성은 90일간 50% 변동성보다 총 분산이 작습니다.

다음 단계로 넘어가기 전에 이해도를 테스트해보세요.

Q: SANOS는 왜 SVI와 SABR가 사용하는 비선형 최적화 대신 선형계획법을 사용할까요?
Q: 어느 마켓메이커의 SANOS 표면에 행사가 노드 20개와 만기 노드 6개가 있습니다. 자유 변수는 몇 개이며 SVI와 비교하면 어떨까요?
Q: 배리어 옵션의 가격을 산정해야 합니다. 로컬 변동성 추출에는 SANOS 표면과 SVI 표면 중 어느 쪽을 선호해야 할까요?
Q: 델타헤지 데스크 입장에서 SABR와 비교했을 때 SANOS의 주요 한계는 무엇일까요?

💡 팁: 답안을 확인하기 전에 각 질문에 대해 스스로 답해보세요.

수학적 직관 쌓기​

SANOS를 처음부터 배우기인터랙티브 레슨 · 사전 지식 불필요

이 레슨은 SANOS를 고정된 공식이 아닌 노드 격자 표면으로 설명한 뒤, 최적화와 무차익거래 제약조건이 어떻게 함께 작동하는지 보여줍니다.

참고 자료:

최종 업데이트: