처음부터 배우는 SABR
1/5SABR은 변동성에 자체 확률과정을 부여합니다
블랙-숄즈에서 변동성은 상수입니다. 하지만 실제 시장에서 변동성은 움직이며 — 현물과 함께 움직입니다. SABR은 이 두 가지 사실을 모두 포착합니다.
SABR 모델은 서로 연결된 두 개의 SDE 시스템입니다. 선도가격 F와 확률변동성 σ가 함께 움직입니다:
dσ = α·σ·dW₂
corr(dW₁, dW₂) = ρ
네 개의 파라미터는 각각 뚜렷한 시장적 의미를 가집니다. α는 볼오브볼로, 변동성 자체가 얼마나 급격하게 요동치는지를 제어합니다. β는 백본으로, 프로세스가 기하 브라운 운동(β=1)과 산술 브라운 운동(β=0) 중 어느 쪽에 가깝게 움직이는지를 결정합니다. ρ는 현물 움직임과 변동성 움직임 간의 상관관계입니다 — 현물이 하락하면 변동성이 오를까요? (주식/크립토에서는 그렇습니다: ρ < 0.)
핵심 통찰: 변동성은 단순히 알 수 없는 값이 아니라 무작위이며 기초자산과 상관되어 있다는 것입니다. 이 하나의 아이디어만으로 파라미터로 이루어진 표면 전체 없이도 현실적인 스마일이 생성됩니다.
SABR은 금리 시장에서 탄생했습니다(Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward, 2002). 모든 스왑션 데스크가 호가된 행사가 사이를 보간하는 데 이 모델을 사용합니다. 이유는 간단합니다: 만기별로 네 개의 파라미터가 각각 관측 가능한 무언가에 대응하며, 내재변동성에 대한 해석적 공식을 얻을 수 있습니다. 스마일을 위해 몬테카를로가 필요 없습니다.
β가 백본을 결정합니다
지수 β는 순간 변동성이 선도가격 수준에 따라 어떻게 스케일되는지를 결정합니다. 볼오브볼이나 상관관계가 등장하기도 전에 기초 프로세스의 성격을 규정합니다.
β = 1 (로그정규): 퍼센트 움직임의 크기가 일정합니다. BTC가 60k일 때 1% 움직임은 $600입니다. BTC가 30k일 때 1% 움직임은 $300입니다. 달러 변동성이 가격에 비례합니다. 이것이 고전적인 GBM 가정입니다.
β = 0 (정규): 달러 움직임의 크기가 일정합니다. 금리가 2%든 5%든 베이시스포인트 단위의 일일 표준편차는 동일합니다. 금리 시장에서 흔한 가정입니다.
β = 0.5 (CIR형): 절충안입니다. 변동성이 가격의 제곱근에 비례합니다. 어느 극단도 완벽히 들어맞지 않는 크립토와 FX에서 널리 쓰입니다.
아래에서 β를 움직여 보며 세 개의 기준 스마일을 관찰하세요. β=1에서 스마일은 로그 머니니스 기준으로 비교적 대칭적입니다. β=0에서는 스큐 프로파일이 극적으로 변합니다. 백본은 현물이 움직일 때 스마일이 어떻게 이동하는지를 결정합니다 — 이것이 β가 스티키-스트라이크 대 스티키-델타 동학과 연결되는 방식입니다.
실무에서는 β를 피팅하기보다 고정하는 경우가 많습니다. 금리 데스크는 보통 β=0.5 또는 β=0을 사용합니다. 주식과 크립토 데스크는 흔히 β=1을 사용합니다. 그 이유는 단일 만기 캘리브레이션에서 β를 ρ와 분리해 내기 어렵기 때문입니다. β를 고정하고 나머지 세 파라미터가 스마일을 흡수하도록 하는 것이 표준 관행입니다.
Hagan의 근사식
SABR이 금리 트레이딩을 장악한 이유: Hagan 등이 행사가의 함수로서 블랙-숄즈 내재변동성에 대한 폐쇄형 근사식을 유도했습니다. PDE 풀이도, 시뮬레이션도 필요 없이 공식 하나면 됩니다.
아래의 누적 막대는 각 행사가의 내재변동성을 세 가지 가산 기여로 분해합니다. 초록색 기본층은 ATM 변동성 수준입니다(ρ=0, ν=0일 때 얻는 값 — 순수 CEV). 주황색 층은 ρ에서 오는 1차 스큐 보정입니다. 파란색 층은 ν(볼오브볼)에서 오는 볼록성 보정입니다.
등가격(ATM)에서는 스큐와 볼록성 보정이 거의 0이어서 기본층이 지배합니다. 윙으로 갈수록 보정이 커집니다. 슬라이더를 조절하여 각 파라미터가 해당 층을 어떻게 제어하는지 확인해 보세요.
주황색 스큐 막대의 부호가 뒤집히는 것을 확인하세요: 한쪽에서는 양수, 다른 쪽에서는 음수입니다(ρ ≠ 0일 때). 파란색 볼록성 막대는 윙에서 항상 양수이며, 딥 풋과 딥 콜 양쪽에 프리미엄을 더합니다.
ρ와 ν가 스마일 형태를 만듭니다
일단 β와 α가 백본과 전체 변동성 수준을 정하고 나면, 스마일 형태는 두 파라미터가 제어합니다: ρ(상관관계)는 스마일을 기울이고, ν(볼오브볼)는 스마일을 휘게 만듭니다.
ρ는 스큐 다이얼입니다. 만약 ρ < 0이면 현물 하락에 변동성 상승이 동반되어 풋이 콜보다 비싸집니다. 반대로 ρ > 0이면 콜이 더 비싸집니다. ρ = 0이면 스마일은 대칭입니다(β=1이거나 로그 머니니스 기준으로 볼 때).
ν는 곡률 다이얼입니다. 볼오브볼이 높을수록 변동성 자체가 더 크게 요동쳐 양쪽 윙이 모두 비싸집니다. 스마일이 넓어지고 만기 분포의 첨도가 커집니다. ν = 0이면 스마일이 전혀 없습니다 — 순수 CEV 모델로 돌아갑니다.
아래 두 패널은 각 효과를 분리해 보여줍니다. 왼쪽: ν를 고정하고 ρ를 조절합니다. 오른쪽: ρ를 고정하고 ν를 조절합니다. 점선은 기준선입니다(ρ=0 또는 ν=0).
ν = 0.40: 변동성의 변동성이 보통: 윙에서 곡률이 보입니다.
이 분리는 직관을 세우는 데는 강력하지만 실무에서는 불완전합니다. ρ와 ν는 완전히 직교하지 않습니다 — 하나를 바꾸면 캘리브레이션에서 다른 하나의 최적값이 달라집니다. 그래도 멘탈 모델은 유효합니다: ρ는 스마일을 회전시키고, ν는 스마일을 부풀립니다.
캘리브레이션과 함정
SABR 캘리브레이션이란 모델 스마일이 관측된 시장 IV와 일치하도록 하는 (α, ρ, ν)를 찾는 것입니다 — 이때 β는 보통 고정합니다. 아래에서 합성 시장 데이터에 모델을 직접 손으로 피팅해 보세요.
주황색 원은 "시장" 내재변동성입니다. 초록색 곡선은 여러분의 SABR 모델입니다. 세로선은 잔차 — 각 행사가에서 모델과 시장의 차이를 보여줍니다. 슬라이더를 드래그하여 SSE(오차제곱합)를 최소화해 보세요. 좋은 캘리브레이션은 ATM에서뿐 아니라 모든 곳에서 잔차를 0에 가깝게 만듭니다.
실무자들이 금방 배우게 되는 몇 가지:
Hagan 근사식은 윙에서 폭발합니다. 딥 OTM 옵션(예: 2Y 스왑션의 10-델타 풋)에서 Hagan 공식은 음수가 되거나 터무니없는 수준으로 치솟는 내재변동성을 산출할 수 있습니다. 이것이 악명 높은 "윙 폭발" 문제입니다. 해결책으로는 무차익 SABR 공식(Hagan-Lesniewski-Woodward 2014)이나 정확한 PDE 기반 접근법이 있습니다.
마이너스 금리가 표준 모델을 무너뜨렸습니다. 만약 β > 0이면 선도가격 F는 양수여야 합니다. 금리가 마이너스가 되자(EUR, JPY, CHF) 데스크들은 시프티드 SABR로 전환했습니다: 유효 선도가격이 양수가 되도록 시프트를 더한 (F + shift)에 모델을 적용합니다.
크립토에서는 β를 보통 0.5 또는 1.0으로 고정합니다. 크립토 변동성 표면은 극단적인 스큐와 두꺼운 꼬리를 가집니다. 크립토 가격은 음수가 될 수 없으므로 β=1(로그정규)이 가장 흔한 선택입니다. 일부 데스크는 윙에서의 적합도를 높이기 위해 β=0.5를 사용합니다.
SABR은 만기별 모델이며, 표면 모델이 아닙니다. 각 만기마다 별도의 (α, ρ, ν) 캘리브레이션을 수행합니다. 이 파라미터들이 만기 간에 어떻게 변하는지에 대해 모델은 아무것도 말해주지 않습니다. 기간구조 일관성을 위해서는 추가 제약이나 다른 프레임워크(SSVI 또는 국소-확률 변동성 등)가 필요합니다.