SABR 모델

정보

이 페이지는 SABR 모델을 심층적으로 다룹니다. 변동성 표면 파이프라인에서 이 모델이 어떤 위치를 차지하는지에 대한 맥락은 변동성 표면 구축 방법을 참조하세요. 다른 방법론과의 비교는 보간 방법을 참조하세요.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho) 는 Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward(2002)가 소개한 확률적 변동성 모델입니다. 스마일의 형태를 기술하는 SVI와 달리, SABR은 스마일을 만들어내는 *동학(dynamics)*을 기술합니다. 변동성이 기초자산과 함께 어떻게 변화하는지의 결과로 스마일이 자연스럽게 도출됩니다.

SABR은 금리 스왑션과 캡/플로어 시장에서 지배적인 모델입니다. 크립토에서는 상대적으로 덜 사용되는데, 크립토에서는 피팅이 더 단순하고 윙(wing) 거동이 더 좋은 SVI가 선호됩니다.

파라미터 탐색하기

각 파라미터를 조정하여 SABR 스마일이 어떻게 변하는지 확인해 보세요. "Show backbone"을 토글하면 CEV만으로 구성된 곡선(변동성의 변동성이 없을 때의 스마일 모습)을 볼 수 있습니다.

SABR 스마일 탐색기

전형적인 금리 스왑션 스마일. 중간 수준의 스큐, 완만한 곡률.

α (변동성 수준)0.30

현재 순간 변동성

β (백본)0.50

0 = 정규, 0.5 = 제곱근, 1 = 로그정규

ρ (현물-변동성 상관)-0.30

음수 = 풋 스큐 (일반적)

ν (볼오브볼)0.40

스마일 폭을 조절합니다. 0 = 스마일 없음.

"백본 표시"를 켜면 CEV만의 곡선(볼오브볼 없음)을 볼 수 있습니다. 백본과 전체 스마일 간의 차이가 ν의 기여분입니다.

각 파라미터의 역할

$\alpha$ (변동성 수준): 현재의 순간 변동성입니다. $\alpha$ 가 높을수록 전체 IV가 높아집니다. 가장 자주 재캘리브레이션되는 파라미터입니다.
$\beta$ (백본): 변동성이 기초자산 가격에 따라 어떻게 스케일링되는지를 제어합니다. $\beta = 1$ 은 퍼센트 변동성이 일정하다는 의미입니다(로그정규). $\beta = 0$ 은 달러 변동성이 일정하다는 의미입니다(정규). $\beta = 0.5$ 는 그 중간입니다(제곱근). 실무에서 $\beta$ 는 보통 피팅하지 않고 시장 관행에 따라 고정합니다.
$\rho$ (현물-변동성 상관관계): 스큐를 제어합니다. $\rho$ 가 음수이면 기초자산이 하락할 때 변동성이 상승합니다(주식시장과 크립토에서 일반적인 거동). $\rho$ 가 양수이면 그 반대를 의미합니다(드묾).
$\nu$ (변동성의 변동성): 스마일 폭을 제어합니다. $\nu = 0$ 일 때는 스마일이 없고, $\beta$ 와 $\rho$ 가 만들어내는 스큐("백본")만 존재합니다. $\nu$ 가 증가하면 양쪽 윙이 모두 올라갑니다.

백본(backbone)

위 탐색기에서 "Show backbone"을 클릭해 보세요. 점선은 $\nu = 0$ 일 때의 스마일입니다. 즉, 변동성에 무작위성이 없는 결정론적 CEV 모델만 있는 경우입니다. 백본과 전체 스마일 사이의 간격은 $\nu$ (변동성의 변동성)의 기여분입니다. 이러한 분해는 SABR에 고유한 것으로, 스마일의 곡률이 어디에서 오는지에 대한 명확한 직관을 트레이더에게 제공합니다.

캘리브레이션

표준적인 접근법

$\beta$ 를 시장 관행에 따라 고정합니다:
- 금리: $\beta = 0.5$ (일반적) 또는 $\beta = 0$ (정규 SABR)
- 주식: $\beta = 1$ (로그정규)
- $\beta$ 를 고정하면 모델의 자유 파라미터는 3개가 됩니다.
$\alpha$ 를 ATM 변동성에 고정합니다. $\alpha$ 와 ATM 내재변동성 사이에는 준폐쇄형(near-closed-form) 관계가 존재합니다. 관측된 ATM IV가 주어지면 $\alpha$ 를 풀 수 있습니다. 이렇게 하면 피팅할 자유 파라미터가 2개로 줄어듭니다.
$\rho$ 와 $\nu$ 를 피팅합니다. SABR 스마일과 행사가별 관측 IV 사이의 가중 오차를 최소화합니다. 파라미터가 2개뿐이므로 빠르고 안정적입니다.

가중치 부여

ATM에 가장 큰 가중치를 부여합니다(가장 유동성이 높고 가장 신뢰할 수 있음)
매수호가/매도호가 스프레드가 좁은 옵션에 더 큰 가중치를 부여합니다
깊은 외가격 (OTM) 옵션에는 낮은 가중치를 부여합니다(해당 영역에서는 Hagan 근사식의 정확도가 떨어짐)

강점

동학적 해석. SABR은 기초자산이 움직일 때 스마일이 어떻게 움직여야 하는지를 알려줍니다. 기본적으로 SABR은 스티키-델타(sticky-delta)와 유사한 거동을 만들어냅니다. 현물이 하락하면( $\rho < 0$ 인 경우) 변동성이 상승하고, 스마일은 현물과 함께 이동합니다. 이는 스마일 동학이 헤징에 중요한 상품에서 가치가 있습니다.

백본 분해. 백본( $\beta$ 가 주도하는 스큐)과 스마일( $\nu$ 가 주도하는 곡률)의 분리는 트레이더에게 명확한 사고 모델을 제공합니다.

간결한 파라미터화. $\beta$ 를 고정하고 $\alpha$ 를 ATM에 고정하면 실제로 피팅하는 파라미터는 2개뿐입니다. 이는 빠르고 과적합의 여지가 거의 없습니다.

한계

윙 문제. Hagan 근사식은 극단적인 윙에서 음의 내재변동성이나 음의 확률밀도를 만들어낼 수 있습니다. 이는 잘 알려진 문제입니다. 프로덕션 시스템에서는 수정된 공식(무차익 SABR, 또는 극단적 행사가에 대해 PDE 솔버)을 사용합니다.

장기 만기. 점근 전개는 10~15년을 넘는 만기에서 성능이 저하됩니다. 이 경우 수치적 방법을 대신 사용하세요.

동적 캘리브레이션이 아닌 정적 피팅. SABR이 동학적 해석을 제공함에도 불구하고, 실무에서는 각 만기를 독립적으로 피팅합니다(SVI와 마찬가지). 동학적 서사는 운영상 강제되기보다는 지향점에 가깝습니다.

SABR vs. SVI

	SABR	SVI
모델링 대상	스마일을 만들어내는 동학	스마일의 형태
파라미터	3개 ( $\beta$ 고정 시)	5개
차익거래	Hagan 공식이 윙에서 위반될 수 있음	깔끔한 제약조건 사용 가능
윙 거동	극단적 행사가에서 무너질 수 있음	유계, 선형 점근선
속도	공식 평가	최적화
적합한 시장	금리, FX	주식, 크립토

핵심적인 차이는 다음과 같습니다. SABR은 "스마일이 어떻게 움직이는가?"에 답하고, SVI는 "스마일이 어떤 모양인가?"에 답합니다. 단순한 유러피언 옵션 가격결정과 리스크 관리에서는 피팅이 더 단순하고 윙 거동이 더 좋은 SVI가 대체로 우세합니다. 스마일 동학이 중요한 상품(버뮤단 스왑션, 스티키-델타 하의 배리어 옵션)에서는 SABR의 동학적 해석이 가치가 있습니다.

SVI와의 연결

SABR은 SVI 피팅의 초기화에 사용할 수 있습니다. 먼저 SABR을 피팅하고(빠른 2-파라미터 최적화), 여러 행사가에서 SABR 스마일을 평가한 다음, 그 점들에 SVI를 피팅합니다. 이렇게 하면 시장 데이터가 희소할 때 SVI에 좋은 출발점을 제공할 수 있습니다.

수학적 직관 쌓기

SABR 기초부터 배우기인터랙티브 레슨 · 파라미터 4개, 섹션 5개

위의 인터랙티브 레슨은 네 가지 SABR 파라미터를 하나씩 살펴봅니다. 알파가 변동성 수준을 설정하는 방식, 로가 스큐를 기울이는 방식, 누가 윙을 들어올리는 방식, 베타가 백본 동학을 제어하는 방식입니다. 각 섹션에는 전용 슬라이더가 있어 한 파라미터의 효과를 분리해서 볼 수 있습니다.

오픈소스 구현

저장소	살펴볼 이유
QuantLib	SABR Hagan 근사식 + 캘리브레이션
pysabr	순수 Python SABR 구현, 가독성 좋음
OpenGamma Strata	프로덕션 리스크 시스템에서 스마일 보간을 갖춘 SABR

참고 자료:

SVI 파라미터화 - Hypercall이 사용하는 모델
로컬 변동성 - Dupire의 순간 변동성 표면
보간 방법 - 모든 방법 비교
변동성 표면 구축 방법 - 전체 파이프라인

파라미터 탐색하기​

SABR 스마일 탐색기

각 파라미터의 역할​

백본(backbone)​

캘리브레이션​

표준적인 접근법​

가중치 부여​

강점​

한계​

SABR vs. SVI​

SVI와의 연결​

수학적 직관 쌓기​

오픈소스 구현​