처음부터 배우는 Rough Bergomi
1/5변동성은 러프한 경로를 가집니다
연구자들이 고빈도에서 실현변동성이 어떻게 움직이는지 측정했을 때, 모든 고전적 모델을 깨뜨리는 사실을 발견했습니다. 변동성 증분의 자기상관은 지수적으로가 아니라 거듭제곱 법칙으로 감소합니다. 변동성 경로는 누구의 예상보다도 훨씬 더 들쭉날쭉합니다.
Heston, SABR, 또는 확산 기반의 어떤 모델에서든 분산 과정은 표준 브라운 운동에 의해 구동됩니다. BM의 허스트 지수는 H = 0.5이며, 이는 그 증분들이 상관되어 있지 않다는 뜻입니다. 결과적으로 나오는 경로는 연속적이지만 직관적으로 "대부분의 경우" 미분할 수 있을 만큼 매끄럽습니다.
Gatheral, Jaisson, Rosenbaum(2018)은 주가지수와 개별 주식의 실현 변동성을 측정했습니다. 그들은 로그 변동성 증분의 자기상관이 시차에 따라 어떻게 감소하는지 살펴보았습니다. 결과는: 멱법칙으로 감소한다는 것입니다, γ(k) ∼ k2H−1, with H ≈ 0.1. H = 0.5이 아닙니다. H = 0.3도 아닙니다. H는 0에 가깝습니다.
자로 선을 그리는 것과, 누군가 팔꿈치를 툭툭 치는 동안 펜으로 휘갈겨 쓰는 것을 떠올려 보십시오. 고전적 모델은 자를 사용합니다. 러프 변동성은 휘갈긴 선이 현실에 더 가깝다고 말합니다. 펜은 어떤 평균회귀 OU 과정의 빈도에서뿐만 아니라 모든 시간 척도에서 끊임없이 방향을 바꿉니다.
실제로 H ≈ 0.1은 무엇을 의미할까요? 변동성 증분은 강하게 음의 상관관계를 가집니다. 지난 5분 동안 변동성이 올랐다면, 다음 5분 동안에는 내려갈 가능성이 더 큽니다. 모든 시간 척도에서 나타나는 이 지속적인 반전이 바로 경로를 거칠게 보이게 만드는 요인입니다 -- 고속도로가 아니라 해안선처럼 들쭉날쭉하고 프랙탈적입니다.
이것은 모델링 선택이 아닙니다. 주식, 지수, FX, 그리고 크립토 전반에서 관찰되는 경험적 사실입니다. H ≈ 0.1의 보편성은 현대 금융 계량경제학에서 가장 놀라운 발견 중 하나입니다.
위의 슬라이더를 드래그해 보십시오. H = 0.5에서는 모든 시차에서 자기상관이 0입니다 -- 표준 BM, 메모리 없음. H를 0.1 쪽으로 낮추면 자기상관이 강하게 음수가 됩니다. 증분들이 반상관됩니다. 이것이 러프니스입니다.
H가 제어하는 것
H는 허스트 지수입니다. 확률 과정이 얼마나 러프하거나 매끄럽게 보이는지를 지배하는 단 하나의 수치입니다. 러프 변동성 이론의 모든 것은 H가 0.5보다 훨씬 작다는 사실에서 흘러나옵니다.
H = 0.5: 표준 브라운 운동입니다. 이것이 Heston이 사용하는 것입니다. 증분은 상관관계가 없습니다. 경로는 연속이지만 미분 가능하지 않습니다. 고전 금융이 가정하는 "기본" 거칠기입니다.
H < 0.5: 거칠음. 증분이 음의 상관관계를 가집니다. H가 낮을수록 경로는 더 거칠어집니다. H = 0.1에서 경로는 지진계로 그린 것처럼 보입니다. 모든 위쪽 움직임 뒤에는 모든 시간 척도에서 아래쪽 움직임이 따라올 가능성이 큽니다.
H → 0: 극도로 거칢. 극한에서는 경로가 너무 들쭉날쭉해져 겨우 연속에 가깝습니다. 실용적인 목적으로 H ≈ 0.1이면 실제 시장과 맞추기에 충분히 거칩니다.
H > 0.5: 매끄러움(지속성). 증분이 양의 상관관계를 가집니다. 경로가 추세를 형성합니다. 이 영역은 변동성과는 관련이 없지만 일부 수문학 및 네트워크 트래픽 모델에서 나타납니다.
상단 패널은 H = 0.1, 0.3, 0.5에서의 세 가지 분산 경로를 나란히 보여줍니다. 시각적 차이는 극적입니다. H = 0.5에서는 경로가 매끄럽게 구불거립니다. H = 0.1에서는 TV 화면의 노이즈처럼 보입니다 -- 끊임없는 반전, 들쭉날쭉한 봉우리.
하단 패널의 슬라이더로 H를 연속적으로 훑어보십시오. H를 낮출수록 경로가 매끄러움에서 러프함으로 변하는 모습을 관찰하십시오. 이것은 특정 모델의 파라미터가 아니라 -- 실제 변동성 데이터에서 측정 가능한 속성입니다.
러프 베르고미 모델
Bayer, Friz, Gatheral(2016)은 실증적 러프 변동성 발견을 취해 그것을 중심으로 가격결정 모델을 구축했습니다. 분산 과정은 표준 BM 대신 프랙셔널 브라운 운동에 의해 구동됩니다. 그 결과는 우아하고, 간결하며, 비마르코프적입니다.
η (eta): vol-of-vol입니다. 분산이 선도 곡선에서 얼마나 벗어나는지를 조절합니다. 값이 높을수록 η = 더 넓은 스마일이 됩니다.
WH(t): Hurst 지수 H를 갖는 프랙탈 브라운 운동입니다. 이것이 러프 드라이버입니다.
−½η²t2H: E[v(t)] = 를 보장하는 볼록성 보정입니다 ξ₀(t). 모델은 분산 기간구조에 자동으로 캘리브레이션됩니다.
현물 가격은 순간 분산 v(t)를 갖는 통상적인 로그정규 확산을 따릅니다:
자유 파라미터를 세어봅시다: H (Hurst 지수), η (vol-of-vol), 그리고 ρ (현물-변동성 상관관계). 총 세 개의 파라미터에, 시장에서 읽어오는 선도 분산 곡선 ξ₀(t)이 더해집니다. Heston의 다섯 개 자유 파라미터와 비교해 보세요. 이 모델이 더 간결합니다.
Heston과의 결정적인 차이: 이 모델은 마르코프적이지 않습니다. Heston에서는 분산의 미래가 오직 현재 분산 수준에만 의존합니다. 러프 베르고미에서는 미래가 경로의 전체 역사에 의존합니다. 프랙탈 BM에는 장기 의존성이 내재되어 있습니다. 상태를 하나의 숫자로 요약할 수 없습니다.
위에서 마르코프와 러프를 전환해 보십시오. 두 분산 경로가 "NOW" 시점에서 같은 수준에 도달하지만, 서로 다른 경로를 거쳐 그곳에 이르렀습니다. Heston(마르코프)에서는 그들의 미래 분포가 동일합니다 -- 모델에 메모리가 없습니다. 러프 베르고미에서는 상승하던 경로가 하락하던 경로와 다른 미래 원뿔을 가집니다. 역사가 동역학에 새겨져 있습니다.
당신이 변동성 트레이더이고 30일 실현변동성이 45%인 것을 본다면, 알고 싶을 것입니다: 20%에서 급등해서 도달했는가(빠르게 평균회귀할 가능성), 아니면 40%에서 천천히 갈려 올라온 것인가(지속될 가능성)? Heston은 이 두 시나리오를 구분하지 못합니다. 러프 베르고미는 할 수 있습니다. 경로의 역사에 미래에 대한 정보가 담겨 있습니다.
러프 변동성이 단기 스마일을 설명하는 이유
러프 변동성 이론의 킬러 애플리케이션: 이 이론은 ATM 스큐가 T의 함수로 스케일링된다고 예측합니다 TH−0.5. H = 0.1에서 이것은 단기 만기에서 스큐가 급등한다는 것을 의미합니다 -- 이것이 바로 크립토와 주식 시장이 보여주는 현상입니다.
ATM 스큐는 로그 머니니스의 함수로서의 내재변동성 기울기를 등가격에서 평가한 것입니다. 모든 확률 변동성 모델은 이 스큐와 만기 T 사이에 특정한 관계를 예측합니다:
H = 0.1 (rough): skew ∝ T−0.4. 스큐가 T → 0으로 갈수록 폭발합니다. 실제 데이터와 일치합니다.
이것이 러프 변동성 프로그램 전체의 핵심입니다. 고전적 모델은 앞단이 너무 평평한 스큐 기간구조를 예측합니다. 3개월 스큐는 맞출 수 있지만 1주 또는 1일 스큐에서는 애를 먹습니다. 트레이더들은 단기 스마일이 Heston의 예측보다 더 가파르다는 것을 수년간 알고 있었습니다. 러프 변동성은 그 이유를 설명합니다: 기초 분산 과정의 러프니스가 만기가 짧아질수록 스큐가 얼마나 빠르게 커지는지를 직접 제어합니다.
위 차트는 세 가지 레짐을 로그 스케일로 보여줍니다. H = 0.1(초록)에서는 스큐 곡선이 가파릅니다 -- 단기 스큐가 장기 스큐보다 훨씬 큽니다. H = 0.5(빨강, Heston 유사)에서는 곡선이 거의 평평합니다. 노란 점은 실증적 BTC 데이터이며, H = 0.1 곡선을 근접하게 추종합니다.
이것은 우연이 아닙니다. BTC 실현 변동성 데이터에서 H를 측정하면, H ≈ 0.1을 얻습니다. BTC 옵션에서 내재된 스큐 기간구조를 보면, T의 함수로 스케일링됩니다 T−0.4. 이론과 데이터가 일치합니다.
Heston이 이것을 틀리는 이유: Heston의 CIR 분산 과정은 표준 BM(H = 0.5)에 의해 구동됩니다. 이것은 0보다 작은 지수를 갖는 멱법칙 스큐 감쇠를 만들어낼 수 없습니다. 다음을 크게 올려서 Heston의 스큐를 가파르게 만들 수는 있습니다 σ (vol-of-vol)를 극단적으로 키워야 하는데, 이는 Feller 조건을 위반하고 수치적 문제를 일으킵니다. Rough Bergomi는 어떠한 매개변수 왜곡 없이도 가파른 단기 스큐를 자연스럽게 구현합니다.
가격결정의 난제
러프 베르고미는 이론적으로 아름답고 실증적으로 근거가 탄탄합니다. 하지만 사용하기에 비쌉니다. 닫힌 형태의 가격 없음, PDE 없음, 빠른 푸리에 기법 없음. 몬테카를로만 가능하며, 그마저도 비마르코프 구조 때문에 느립니다.
닫힌 형태의 특성함수가 없습니다. Heston의 결정적 장점은 푸리에 역변환을 통한 준해석적 가격 산정입니다. Rough Bergomi에는 이것이 없습니다. 분수 BM 드라이버가 Heston의 특성함수를 풀 수 있게 하는 아핀 구조를 깨뜨립니다.
몬테카를로만 가능합니다. Rough Bergomi에서 바닐라 옵션의 가격을 산정하려면, 분산 프로세스의 경로를 시뮬레이션하고, 만기 현물 가격을 계산한 뒤, 페이오프를 평균 냅니다. 표준 몬테카를로 수렴: 1/√N. 1베이시스포인트 정확도의 가격을 얻으려면 매우 많은 경로가 필요합니다.
fBM 시뮬레이션은 비용이 큽니다. 표준 BM은 마르코프 성질을 가집니다: 다음 단계를 시뮬레이션하려면 현재 값만 있으면 됩니다. fBM은 비마르코프입니다: 다음 단계를 올바르게 시뮬레이션하려면 경로의 전체 이력이 필요합니다. 단순한 촐레스키 분해는 경로당 메모리로 O(N²)의 비용이 들고 시간으로는 O(N³)의 비용이 드는데, 여기서 N은 시간 단계 수입니다. 긴 경로에서는 이것이 매우 가혹합니다.
하이브리드 방식. Bayer, Friz, Gatheral은 fBM 커널을 "근거리" 부분(정확히 계산)과 "원거리" 부분(몇 개의 기저 함수로 근사)으로 나누는 하이브리드 방식을 제안했습니다. 이는 비용을 경로당 대략 O(N · log N)로 줄여 캘리브레이션을 실행 가능하게 만들지만, 트레이딩 데스크에서 실시간 가격 산정을 하기에는 여전히 충분히 빠르지 않습니다.
PDE가 없습니다. Heston 같은 마르코프 모델은 PDE(유한차분법)로 가격을 산정할 수 있습니다. 이는 빠른 격자 기반 가격 산정을 제공합니다. 비마르코프 모델은 유한 차원 상태 공간이 없으므로 PDE를 쓸 수 없습니다. "비마르코프성의 저주"란 상태가 무한 차원(경로의 전체 이력)이라는 것입니다.
Rough Bergomi가 실무에서 적합한 곳:
1. 연구 및 캘리브레이션 검토. 학계와 퀀트 연구자들은 이를 활용해 rough vol 가설을 검증하고 다른 모델을 벤치마킹합니다. 여러분의 빠른 모델(SVI, SABR)이 Rough Bergomi가 예측하는 것과 다른 스큐를 준다면, 무언가 잘못되었다는 것을 알 수 있습니다.
2. 야간 캘리브레이션. 일부 데스크는 진단 목적으로 야간에 Rough Bergomi 캘리브레이션을 실행합니다. 이는 낮 동안 사용하는 빠른 모델이 스큐 동역학을 놓치고 있는지 알려줍니다.
3. 직관을 형성함. 모델을 실시간으로 실행하지 않더라도, rough vol을 이해하면 단기 옵션에 대해 생각하는 방식이 바뀝니다. 1일 스큐가 여러분의 모델이 예측하는 것보다 가파르게 보일 때, rough vol은 그것이 정상이라고 알려줍니다 -- 그것은 시장의 rough 분산 경로가 드러나는 것입니다.
4. 신경망 프록시. 최근 연구는 Rough Bergomi 가격을 근사하도록 신경망을 학습시킵니다. 신경망은 오프라인에서(느린 몬테카를로를 사용해) 매개변수에서 가격으로의 매핑을 학습한 뒤, 런타임에는 밀리초 단위로 평가합니다. 이는 결국 rough vol을 프로덕션에서 사용 가능하게 만들 수 있습니다.
Rough Bergomi는 수리금융과 계량경제학의 교차점에 위치합니다. 이는 측정값(H ≈ 0.1)이 직접적으로 모델을 결정한 드문 사례 중 하나입니다. 대부분의 모델은 먼저 고안된 뒤 나중에 적합됩니다. Rough vol은 데이터에서 먼저 발견되었고 그 다음에 형식화되었습니다. 이러한 경험적 근거가 바로 계산 비용에도 불구하고 커뮤니티가 이를 진지하게 받아들이는 이유입니다.