처음부터 배우는 Merton 점프 확산 모델
1/5Black-Scholes는 폭락을 다룰 수 없다
Black-Scholes는 가격이 연속적으로 움직인다고 가정합니다 — 작은 틱 단위로만 움직이고, 순간이동은 없습니다. 99%의 시간에는 문제가 없습니다. 나머지 1%가 계좌를 날려버립니다.
시장에는 갭이 발생합니다. 실적 발표, 지정학적 충격, 프로토콜 익스플로잇 — 가격이 중간 과정 없이 한 수준에서 다른 수준으로 즉시 점프합니다. 확산만 아는 모형은 이러한 사건에 확률을 전혀 부여할 수 없습니다.
Robert Merton의 해결책(1976): 확산은 유지하되, 두 번째 무작위성 원천을 덧붙인다 — 푸아송 과정 이 과정은 무작위 시점에 발동하며, 발동하면 가격이 로그정규분포에서 추출된 무작위 크기만큼 점프합니다.
dN — 푸아송 카운터. 보통은 0이고, 가끔 1이 됩니다(점프 발생).
J — 점프 배수. ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²). J = 0.9이면 가격이 즉시 10% 하락합니다.
λ — 연간 평균 점프 횟수. k = E[J − 1] — 드리프트를 깔끔하게 유지하기 위한 보상항입니다.
아래는 Merton 모형으로 시뮬레이션한 세 개의 가격 경로입니다. 대부분의 시간 동안 경로는 매끄러운 확산입니다. 그러다 수직선이 나타나는데, 그것이 점프입니다. λ를 높여 더 잦은 점프를 확인하거나, μJ를 더 음수로 만들어 폭락과 같은 움직임을 확인해 보세요.
확산을 방을 가로질러 걷는 것이라고 생각해 보세요. 작고 연속적인 걸음을 내딛습니다. 이제 바닥에 함정문을 추가합니다. 대부분의 걸음은 평범합니다. 하지만 가끔 함정문으로 떨어져 예상치 못한 곳에 착지합니다. 그것이 바로 점프 성분입니다.
세 가지 새 파라미터
일반적인 σ (확산 변동성)에 더해, Merton은 내재변동성 스마일의 형태를 함께 결정하는 세 가지 파라미터를 추가합니다. 각 파라미터는 고유한 역할을 합니다.
λ (람다) — 점프 빈도. 연간 평균 몇 번의 점프가 발생하는지입니다. λ가 높을수록 점프가 더 흔해져 스마일의 양쪽 윙이 올라갑니다. λ = 0이면 Black-Scholes 세계로 돌아갑니다.
μJ (뮤-J) — 평균 점프 크기. 음수이면 점프가 주로 하락 방향(폭락)입니다. 이는 스마일을 기울여 왼쪽 윙(풋)이 오른쪽 윙(콜)보다 비싸지게 만듭니다. 0이면 점프가 대칭적이고 스마일도 대체로 대칭입니다.
σJ (시그마-J) — 점프 크기의 변동성. 점프 크기가 얼마나 가변적인지를 나타냅니다. μJ = 0이라도 σJ가 높으면 어떤 점프는 매우 크고 어떤 점프는 매우 작습니다. 이는 초과 첨도를 더해 — 정규분포보다 두꺼운 꼬리 — 윙의 곡률을 키웁니다.
위 슬라이더를 조작해 보세요. 시도해 볼 세 가지 실험:
1. λ = 0으로 설정하세요. 스마일이 평평해집니다 — 순수 BS입니다.
2. λ = 2, μJ = −0.15,σJ = 0.05로 설정하세요. 가파른 하방 스큐가 나타납니다 — 시장이 상승보다 폭락을 더 예상한다는 뜻입니다.
3. μJ = 0, σJ = 0.30으로 설정하세요. 양쪽 윙이 대칭적으로 올라갑니다 — 방향성 편향 없는 순수한 두꺼운 꼬리입니다.
가격결정 공식
Merton의 가격결정 공식은 우아합니다: 옵션 가격은 가능한 각 점프 횟수에 대응하는 Black-Scholes 가격의 가중 합입니다. 바닐라 BS 콜옵션의 가격을 매길 수 있다면 Merton의 가격도 매길 수 있습니다.
σn² = σ² + nσJ²/τ — 점프가 하나 추가될 때마다 유효 분산이 커집니다.
가중치는 푸아송 확률입니다 — 정확히 n번의 사건이 일어날 확률이며, 대상 기간은 τ.
실무에서는 10–15개 항이면 충분합니다. 푸아송 가중치가 빠르게 감소하기 때문입니다.
아래 시각화는 Merton 가격을 처음 여섯 개 항으로 분해합니다. 왼쪽 패널은 선택한 행사가에서 각 항의 막대를 보여줍니다. 오른쪽 패널은 모든 행사가에 걸쳐 항들이 어떻게 쌓이는지 보여줍니다 — 등가격(ATM)과 윙에서 각각 어떤 항이 지배적인지 확인할 수 있습니다.
핵심 관찰: n=0 항(점프 0회)은 그냥 일반적인 Black-Scholes 가격입니다. 높은 차수의 항들은 윙에 점점 더 많은 가치를 더합니다. 점프가 유효 변동성을 높여 먼 행사가에 도달할 수 있게 만들기 때문입니다.
행사가 슬라이더를 윙(K=80 또는 K=120)으로 옮겨 보세요. 높은 n 항들의 비중이 상대적으로 커지는 것을 확인하세요. 등가격(ATM)에서는 n=0이 지배적입니다. 윙에서는 n=1과 n=2가 본격적으로 기여하기 시작합니다 — 점프 프리미엄이 존재하는 곳이 바로 여기입니다.
헤지할 수 없는 점프 리스크
Black-Scholes에서는 델타헤지가 모든 리스크를 제거합니다 — 연속적으로 리밸런싱하면 확산 리스크가 상쇄됩니다. 점프가 있으면 이것이 깨집니다. 점프는 즉시 일어나므로 충분히 빨리 리밸런싱할 수 없습니다.
생각해 보세요: 델타헤지는 작은 가격 변화에 대응해 기초자산 포지션을 조정하는 방식으로 작동합니다. 하지만 점프는 작지 않습니다 — 가격이 순간이동합니다. 대응할 수 있을 때쯤이면 손실(또는 횡재)은 이미 확정된 뒤입니다. 헤지는 점프 이전 가격에 맞춰져 있었지, 점프 이후 가격에 맞춰진 것이 아닙니다.
이는 Merton 시장이 불완전하다는 뜻입니다. 기초자산과 채권만으로는 모든 페이오프를 복제할 수 없습니다. 점프 리스크는 시장이 별도로 가격을 매겨야 하는 리스크 요인입니다. 이것이 현실 세계의 옵션이 BS 델타헤지 논리가 시사하는 것보다 높은 프리미엄을 갖는 이유입니다.
재생성(Regenerate)을 몇 번 눌러 패턴을 관찰해 보세요. BS 패널(왼쪽)에서는 누적 P&L이 오르내리지만 비교적 제한된 범위에 머뭅니다 — 헤지가 제 역할을 하고 있습니다. Merton 패널(오른쪽)에서는 대부분의 시간 동안 비슷해 보이다가, 빨간 수직 막대(점프)가 나타나면 P&L이 급변합니다.
점프로 인한 P&L 충격은 μJ < 0일 때 비대칭적입니다: 하락 점프가 (감마 숏인) 헤저에게 주는 손실이 상승 점프가 주는 이익보다 큽니다. 이것이 폭락 대비 풋옵션에 프리미엄이 붙는 근본적인 이유입니다 — 누군가는 헤지 불가능한 이 점프 리스크를 부담하는 대가를 받아야 하기 때문입니다.
Merton vs. Heston vs. 현실
Merton은 단기 스마일에 탁월합니다. Heston은 장기 스마일에 탁월합니다. 현실에는 둘 다 필요합니다 — 이것이 Bates 모형(Heston + 점프)이 업계 표준이 된 이유입니다.
핵심적인 차이는 다음과 같습니다:
단기 만기에서는 점프가 지배적입니다. 1주짜리 옵션은 확률변동성이 의미 있게 “확산”되기에는 너무 짧습니다. 하지만 단 한 번의 점프로도 멀리 떨어진 행사가에 도달할 수 있습니다. Merton의 점프 성분은 단기 윙 가격의 주된 동인입니다.
장기 만기에서는 확률적 변동성이 지배적입니다. 6개월에 걸치면 변동성 자체가 충분히 오르내리면서 스스로 두꺼운 꼬리를 만들어 냅니다. 점프 사건은 평균화 과정에서 “희석”됩니다 — 252 거래일 중 한 번의 점프는 5 거래일 중 한 번의 점프보다 영향이 작습니다.
장기 윙 → 변동성의 변동성(vol-of-vol) → Heston
둘 다 → Bates = Heston + Merton 점프
실무적 결과: Merton을 1개월물 옵션에 캘리브레이션한 뒤 1년물 옵션 가격산정에 사용하면 장기 스마일이 너무 평평해집니다. 점프 성분은 √τ에 따라 감쇠하지만, 변동성 자체가 불확실하기 때문에 시장 스마일은 장기 만기에서도 높게 유지됩니다.
반대로 Heston 단독으로는 단기 윙을 과소평가합니다. 변동성 과정이 너무 느려서 시장이 요구하는 극단적인 단기 첨도를 만들어내지 못합니다. 그러려면 점프가 필요합니다.
Black-Scholes: 평평한 스마일. 스큐도 윙도 없습니다. 가장 단순한 벤치마크입니다.
Merton: 특히 단기 만기에서 윙이 높아진 스마일. μJ < 0이면 스큐가 발생합니다. 점프가 희석되면서 만기가 길어질수록 스마일이 평평해집니다.
Heston: 변동성의 변동성에서 비롯된 스마일. 장기 만기에서도 스마일이 유지됩니다. 변동성-현물 상관관계(ρ)를 통해 스큐를 생성합니다.
Bates: Heston + Merton 점프. 단기부터 장기까지 스마일의 기간구조를 잘 맞춥니다. 주식과 크립토 모두에서 업계 표준으로 쓰입니다.