Merton 점프-확산 모형
블랙-숄즈 모형은 가격이 부드럽게 움직인다고 가정합니다 -- 갭도 없고, 갑작스러운 폭락도 없습니다. Merton (1976)은 여기에 점프를 추가합니다. 가격이 단순히 확산하는 것이 아니라 갑자기 위아래로 순간이동할 수 있습니다. 시장이 밤사이 갭을 만듭니다. 스테이블코인이 한 블록 만에 디페그됩니다.
두꺼운 꼬리(fat tail)와 가파른 단기 스마일은 여기서 직접적으로 도출됩니다. 점프 리스크가 클수록 = 변동성 표면의 양쪽 날개(wing)가 더 가팔라집니다.
옵션에서 점프가 중요한 이유
2일 후 만기되는 OTM 풋옵션은 블랙-숄즈 하에서는 거의 무가치합니다 -- 확산만으로는 행사가에 도달할 시간이 부족하기 때문입니다. 하지만 시장이 밤사이 15% 점프할 수 있다면, 그 풋옵션은 실질적인 가치를 갖습니다. 점프 모형은 이를 포착합니다. 단기 스마일이 그토록 가파른 이유가 바로 이것입니다.
파라미터 살펴보기
먼저 '점프 없음'으로 시작해 평평한 블랙-숄즈를 확인하십시오. 그런 다음 '폭락 리스크'로 전환하여 풋 날개가 가팔라지는 것을 관찰해 보십시오.
Merton 점프-확산 스마일 탐색기
먼저 "점프 없음"으로 평평한 Black-Scholes를 확인한 후, "폭락 리스크"로 전환하여 점프가 스큐를 만드는 방식을 살펴보세요.
각 파라미터의 역할
- 람다(점프 강도): 연간 몇 번의 점프를 예상하는지를 나타냅니다. 0이면 = 블랙-숄즈입니다. 1이면 = 대략 연 1회의 폭락급 이벤트를 의미합니다. 크립토에서는 이 값이 2-3이 될 수 있습니다.
- 평균 점프 크기: 점프의 평균적인 방향입니다. 음수 = 급등보다 폭락이 더 흔하다는 뜻입니다. 이것이 풋 스큐를 만들어냅니다.
- 점프 변동성: 각 점프가 얼마나 가변적인지를 나타냅니다. 평균 점프가 0이더라도 높은 점프 변동성은 두꺼운 꼬리를 만듭니다(양쪽 날개가 모두 올라갑니다).
- 기본 변동성(시그마): 점프 사이의 정상적인 확산 변동성입니다. 이것이 전체적인 수준을 결정합니다.
점프가 스마일을 형성하는 방식
점프 스마일 vs. 확률적 변동성 스마일
Merton과 Heston(확률적 변동성)은 모두 스마일을 만들어내지만, 그 방식이 다릅니다. 이 차이는 트레이딩에서 중요합니다.
단기 만기 vs. 장기 만기
Merton 모형은 점프 리스크가 지배적인 단기 옵션에서 가장 유용합니다. 만기가 길어지면 중심극한정리가 작동하기 시작합니다 -- 많은 작은 점프들은 확산처럼 보이게 되고, 점프만으로 만들어진 스마일은 희미해집니다. 기간구조의 장기 구간에서는 확률적 변동성이 주도권을 잡습니다.
크립토에서의 Merton 모형
크립토는 Merton 모형이 가장 중요한 시장이라고 해도 과언이 아닙니다. 시장은 24시간 연중무휴로 거래되지만 유동성 갭이 흔합니다 -- 거래소 장애, 오라클 오류, 갑작스러운 청산 연쇄가 그렇습니다. 이것들이 바로 점프입니다. ATM 수준은 크게 변하지 않을 수 있지만, 날개는 극적으로 가팔라집니다.
방정식 탐색기
내재변동성, 총분산, 로그 머니니스, 옵션 가격 간의 변환을 해보십시오.
방정식 탐색기
💡 팁: 답안을 확인하기 전에 각 질문에 대해 스스로 답해보세요.
수학적 직관 기르기
Merton 점프를 기초부터 배우기인터랙티브 레슨 · 사전 지식 불필요이 레슨은 '가격이 순간이동할 수 있다면?'이라는 단순한 질문에서 시작하여, 점프 강도와 점프 크기에 대한 완전한 직관, 그리고 단기 날개가 왜 비싸지는지를 차근차근 쌓아 올립니다.
참고 자료: