처음부터 배우는 로컬 변동성
1/5내재변동성은 혼합 평균입니다
로컬볼에서 가장 중요한 개념: 특정 행사가격과 만기에 대해 관찰되는 내재변동성은 그 지점의 변동성이 아닙니다. 그것은 경로를 따라 존재하는 모든 로컬볼의 경로 가중 평균입니다.
자동차 여행처럼 생각해 보세요. 제한 속도는 마을마다 달라집니다(그것이 로컬볼입니다). 전체 여행에 걸친 평균 속도가 여러분의 내재변동성입니다. 같은 목적지에서 끝나는 두 여행도 서로 다른 마을을 지나갔기 때문에 평균 속도가 다를 수 있습니다.
아래에서 모든 경로는 S=100에서 시작해 동일한 최종 가격에서 끝납니다. 하지만 각 경로는 저마다 고유한 로컬볼을 가진 서로 다른 가격 영역을 지나갑니다. 내재변동성은 이 모든 경로에 걸친 평균입니다.
경로를 더 추가하면서 평균 변동성이 안정되는 것을 살펴보세요. 각 경로는 방문하는 가격 수준에 따라 서로 다른 로컬볼을 경험합니다. 배경 음영은 로컬볼 지형을 보여줍니다 — 밝을수록 변동성이 높습니다.
로컬볼이란 무엇인가?
로컬볼은 특정 (가격, 시간) 지점에서의 순간 변동성입니다. 그것은 하나의 지형입니다: 모든 현물 가격과 모든 시점마다 특정한 변동성 값이 존재합니다.
모델은 이렇게 말합니다: 기초자산이 시점 t에 가격 S에 있으면, 순간 변동성은 정확히 σ(S, t)입니다. 변동성 자체에는 무작위성이 없습니다 — 그것은 가격이 어디에 있고 언제인지에 대한 결정론적 함수입니다.
아래 히트맵 위에 마우스를 올려 각 지점의 로컬볼 값을 확인해 보세요. 패턴을 주목하세요: 낮은 현물 가격에서 높은 변동성(왼쪽), 높은 현물 가격에서 낮은 변동성(오른쪽). 이 비대칭성이 내재변동성 스큐를 만들어냅니다.
로컬볼은 풍속 지형도와 같습니다. 모든 (위도, 경도)마다 특정한 풍속이 있습니다. A에서 B로 항해하는 배는 경로에 따라 서로 다른 바람을 경험합니다. 여정 전체의 평균 풍속이 내재변동성과 같습니다. 각 개별 지점의 풍속이 로컬볼입니다.
Dupire 공식
Dupire는 관찰된 옵션 가격에서 직접 로컬볼 표면을 추출할 수 있음을 보여주었습니다. 이 공식은 콜 가격 함수의 두 편미분을 사용합니다.
∂²C/∂K² — 행사가격에 걸친 콜 가격의 곡률. 이것은 최종 가격의 확률 밀도(버터플라이 스프레드)입니다. 이 항이 0이면 버터플라이 차익거래가 존재하며 로컬볼이 정의되지 않습니다.
아래 격자는 스큐가 있는 내재변동성 표면으로 계산된 Black-Scholes 콜 가격을 보여줍니다. 내부의 아무 셀이나 클릭해 선택하세요. 두 편미분 뷰를 전환하며 어떤 인접 셀이 분자와 분모에 기여하는지 확인해 보세요.
| T \ K | 85 | 90 | 95 | 100 | 105 | 110 | 115 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.10y | 15.60 | 11.06 | 7.30 | 5.36 | 2.28 | 0.81 | 0.26 |
| 0.25y | 17.06 | 13.16 | 10.11 | 8.50 | 5.43 | 2.97 | 1.57 |
| 0.50y | 19.57 | 16.19 | 13.57 | 12.06 | 9.70 | 6.42 | 4.22 |
| 0.75y | 21.85 | 18.75 | 16.32 | 14.82 | 13.05 | 9.63 | 6.89 |
| 1.00y | 23.93 | 21.00 | 18.68 | 17.15 | 15.63 | 12.64 | 9.52 |
분자(∂C/∂T)는 시장이 더 긴 만기에 대해 얼마나 추가적인 시간가치를 부여하는지 측정합니다 — 이것이 선도 변동성 정보입니다. 분모(∂²C/∂K²)는 위험중립 확률 밀도입니다. 이 둘의 비율이 그 (K, T) 지점의 순간 분산을 분리해냅니다.
스마일에서 표면으로
내재변동성 스마일 — 행사가격에 걸친 IV 곡선 — 은 전체 로컬볼 표면으로 매핑됩니다. 스마일 형태를 조정하면 로컬볼 지형이 바뀝니다.
아래 슬라이더로 내재변동성 스마일을 변경해 보세요: 기본 수준, 스큐(기울기), 곡률(볼록성). 왼쪽 패널은 IV 스마일을 보여줍니다. 오른쪽 패널은 Dupire를 통해 계산된 결과 로컬볼 히트맵을 보여줍니다.
주목할 핵심 사항:
로컬볼은 항상 내재변동성보다 더 극단적입니다. 내재변동성은 경로에 걸쳐 평균을 내기 때문에, 로컬볼의 봉우리와 골짜기를 평탄하게 만듭니다. 곡률을 높이면서 로컬볼의 양 끝이 훨씬 더 뚜렷해지는 것을 살펴보세요.
스큐를 추가하면 로컬볼이 비대칭으로 이동합니다. 음의 스큐(주식/크립토 시장에서 전형적)는 왼쪽(낮은 현물)에서 더 높은 로컬볼을, 오른쪽에서 더 낮은 로컬볼을 만들어냅니다.
이색옵션에 중요한 이유
바닐라 옵션에는 내재변동성으로 충분합니다. 경로 의존적인 것 — 배리어, 아시안, 룩백 — 에는 최종 평균뿐만 아니라 경로를 따라 변동성이 어디에 있는지 알아야 합니다.
다운앤아웃 콜은 도중에 가격이 배리어에 닿지 않는 한 일반 콜처럼 페이오프됩니다. 배리어에 도달할 확률은 가격이 배리어 수준 근처에서 경험하는 변동성에 달려 있습니다. 서로 다른 두 로컬볼 표면이 동일한 바닐라 콜 가격을 만들어내면서도 배리어 가격은 크게 다를 수 있습니다.
이것이 로컬볼의 핵심 논거입니다: 이색옵션 가격을 바닐라와 일관되게 만들어줍니다. 로컬볼 하에서 가격이 책정된 모든 배리어나 경로 의존 옵션은 관찰된 바닐라 가격과 모순되지 않음이 보장됩니다. 임시방편적인 조정 대신 하나의 통합된 모델을 얻게 됩니다.
주의점: 로컬볼은 잘못된 스마일 동학을 예측합니다(변동성이 결정론적이므로 놀라움을 줄 수 없습니다). 실무에서 데스크는 확률적 로컬볼(SLV)을 사용합니다 — 캘리브레이션 정확도를 위한 로컬볼에 현실적인 동학을 위한 확률적 요소를 더합니다.