로컬 변동성
이 페이지는 듀파이어 로컬 변동성 모델을 다룹니다. 이 모델이 변동성 표면 파이프라인에 어떻게 들어맞는지에 대한 맥락은 변동성 표면 구축 방법을 참조하십시오. 다른 방법과의 비교는 보간 방법을 참조하십시오.
로컬 변동성은 특정 가격 수준과 특정 시점에서 기초자산의 순간 변동성입니다. 이는 확산 모델에 대입했을 때 관측된 모든 유러피언 옵션 가격을 정확히 재현하는 함수 입니다.
이 아이디어는 Bruno Dupire(1994)와 Derman & Kani(1994)에 의해 독립적으로 개발되었습니다. 이는 추가적인 가정 없이 전체 내재변동성 표면을 일치시키는 유일한 모델입니다.
내재변동성 vs. 로컬 변동성
핵심 통찰: 내재변동성은 만기까지의 경로를 따라 존재하는 로컬 변동성들의 혼합 평균입니다. 로컬 변동성은 순간적인, "점별(pointwise)" 변동성입니다.
내재변동성 vs 로컬 변동성
로컬 변동성(실선)은 항상 내재변동성(점선)보다 더 뾰족합니다. 내재변동성은 경로상의 로컬 변동성들의 가중 평균입니다.
스마일 형태 사이를 전환하면서 다음을 확인하십시오:
- 로컬 변동성은 항상 더 뾰족합니다. 내재변동성은 경로에 대해 평균을 내기 때문에 극단값을 평활화합니다. 로컬 변동성은 원시적이고 평균화되지 않은 그림을 보여줍니다.
- 더 가파른 내재 스큐 = 더 극적인 로컬 변동성. 가파른 스큐 사례(위기)에서 로컬 변동성은 좌측 윙에서 발산합니다. 이는 모델이 이렇게 말하는 것입니다: "현물이 그만큼 하락하면, 관측된 풋 가격을 일치시키기 위해 순간 변동성이 매우 높아야 할 것이다."
- 이 관계는 현물 금리 vs. 선도 금리와 같습니다. 내재변동성은 현물 금리(지금부터 만기까지의 평균)입니다. 로컬 변동성은 선도 금리(미래의 한 시점에서의 순간 금리)입니다.
로컬 변동성의 의미
기초자산 가격이 변동성의 *지형(landscape)*을 통과하며 진화한다고 생각해 보십시오. (가격, 시간) 공간의 각 지점에는 특정 변동성이 존재합니다. 기초자산이 이리저리 움직이면서 서로 다른 순간 변동성을 경험합니다.
50% 내재변동성을 가진 30일 ATM 옵션은 경로를 따라 40%에서 65% 범위의 로컬 변동성을 통과할 수 있습니다. 50% 내재변동성은 각 수준에서 소비된 시간으로 가중된, 그 모든 로컬 변동성에 대한 위험중립 평균입니다.
이것이 서로 다른 행사가격을 가진 두 옵션이 동일한 기초자산 프로세스에 의존함에도 불구하고 서로 다른 내재변동성을 가질 수 있는 이유입니다: 이들은 로컬 변동성 지형의 서로 다른 부분을 통과합니다.
로컬 변동성을 언제 사용해야 하는가
이색(exotic) 옵션 가격결정
로컬 변동성의 주된 사용 사례입니다. 워크플로우:
- 시장에서 유러피언 옵션 가격(또는 내재변동성)을 관측합니다
- 차익거래가 없는 내재변동성 표면을 피팅합니다(SVI, SSVI 또는 유사한 방법 사용)
- 듀파이어의 공식을 통해 로컬 변동성 표면을 도출합니다
- 로컬 변동성 표면을 사용하여 수치적 가격결정 엔진(유한차분 PDE 또는 몬테카를로)을 구축합니다
- 기초자산을 로컬 변동성 지형을 통해 진화시켜 이색 옵션의 가격을 산정합니다
보장: 로컬 변동성 하에서 가격이 산정된 모든 이색 옵션은 관측된 모든 유러피언 옵션 가격과 일관됩니다. 당신의 배리어 옵션 가격은 바닐라와 모순되지 않으며, 이는 헤징에 중요합니다.
표면 일관 그릭스
로컬 변동성 하에서 계산된 그릭스는 현물이 움직임에 따라 변동성이 변한다는 사실을 반영합니다. 로컬 변동성 하의 델타는 블랙-숄즈 델타와 다른데, 이는 모델이 다른 현물 수준으로 이동하는 것이 다른 로컬 변동성을 경험하는 것을 의미한다는 것을 "알고 있기" 때문입니다. 이는 Taleb이 "섀도 감마(shadow gamma)"라고 부르는 것, 즉 현물이 움직여 변동성이 변함으로써 발생하는 추가적인 델타 변화와 개념적으로 유사합니다.
다이내믹스 문제
로컬 변동성에는 잘 알려진 약점이 하나 있습니다: 잘못된 스마일 다이내믹스를 예측한다는 것입니다.
로컬 변동성 하에서 변동성은 현물의 결정론적 함수입니다. 현물이 어디에 있는지 알면 변동성이 정확히 무엇인지 알 수 있습니다. 변동성에는 "놀라움"이 없습니다. 이는 다음을 의미합니다:
- 현물이 하락할 때, 로컬 변동성은 이 가격에서 변동성이 항상 이렇게 높았을 것이라고 말합니다. 스마일이 평탄해집니다.
- 실제로는, 현물이 하락할 때 변동성은 종종 로컬 변동성이 예측하는 것보다 더 증가하고, 스마일이 가팔라집니다.
그 결과: 로컬 변동성은 미래 스마일 형태에 의존하는 옵션(배리어 옵션, 포워드 스타팅 옵션, 클리켓)의 가격을 체계적으로 과소평가합니다.
로컬 변동성 vs. 다른 모델
| 로컬 변동성 | SVI | SABR | |
|---|---|---|---|
| 무엇인가 | 각 (S, t)에서의 순간 변동성 | 파라메트릭 스마일 형태 | 확률 변동성 모델 |
| 관측 가능? | 아니오 (도출됨) | 아니오 (피팅됨) | 아니오 (피팅됨) |
| 정확한 캘리브레이션 | 예 (구성상) | 근사적 | 근사적 |
| 스마일 다이내믹스 | 잘못됨 (결정론적) | 명시되지 않음 | 더 나음 (확률적) |
| 이색 옵션 가격결정 | 예 (주된 용도) | 아니오 | 제한적 |
| 속도 | 느림 (PDE/MC) | 빠름 | 빠름 (공식) |
| 최적 용도 | 배리어, 아시안, 이색 옵션 | 바닐라 가격결정, 리스크 | 스왑션, FX 바닐라 |
다른 모델과의 연결
내재변동성에서 로컬 변동성으로: 듀파이어의 공식. 입력으로 차익거래가 없는 내재 표면이 필요합니다.
로컬 변동성에서 내재변동성으로: 로컬 변동성 표면 하에서 순방향 PDE를 실행하고, 유러피언 가격을 산정하며, 이를 역산하여 내재변동성을 얻습니다. 이는 구성상 정확히 왕복(round-trip)합니다.
SABR과 로컬 변동성: SABR의 파라미터는 로컬 변동성 백본()을 제어하며, 는 그 위에 확률 계층을 추가합니다. SABR은 추가적인 다이내믹스를 가진 로컬 변동성의 파라메트릭 근사로 볼 수 있습니다.
SVI와 로컬 변동성: SVI는 내재 표면을 제공합니다. 그다음 듀파이어가 로컬 변동성을 제공합니다. 연쇄: 시장 호가 -> SVI 피팅 -> 내재 표면 -> 듀파이어 -> 로컬 변동성 -> 이색 옵션 가격결정기.
수학적 직관 구축하기
로컬 변동성을 처음부터 배우기인터랙티브 학습 · Dupire 공식을 다룹니다위의 인터랙티브 레슨은 듀파이어 로컬 변동성 모델을 첫 원리부터 다룹니다: 왜 내재변동성이 로컬 변동성의 경로 가중 평균인지, 듀파이어의 공식이 관측된 가격에서 로컬 변동성을 어떻게 추출하는지, 내재변동성 스마일과 로컬 변동성 표면 사이의 관계, 그리고 경로 의존적 이색 옵션의 가격결정에 로컬 변동성이 왜 중요한지.
오픈 소스 구현
| 리포지토리 | 살펴봐야 할 이유 |
|---|---|
| QuantLib | FD 가격결정 엔진을 갖춘 듀파이어 로컬 변동성 |
| OpenGamma Strata | 시장 데이터로부터의 로컬 변동성 표면 구축 |
| RustQuant | Rust로 구현된 로컬 변동성 가격결정 |
함께 보기:
- SVI 파라미터화 - 내재 표면을 구축하는 데 사용되는 모델
- SABR 모델 - 확률 변동성 대안
- 보간 방법 - 모든 방법 비교
- 변동성 표면 구축 방법 - 전체 파이프라인