처음부터 배우는 Kou 점프 확산 모형
1/5Merton의 점프는 너무 대칭적이다
Merton은 로그정규 점프를 사용합니다. 점프 크기 분포는 어딘가에 중심을 둔 단일 종 모양 곡선입니다. 상방 점프와 하방 점프는 동일한 계열에서 나옵니다. 그것이 문제입니다.
실제 폭락은 랠리보다 더 날카롭습니다. 스테이블코인 디페그는 숏 스퀴즈의 거울상처럼 보이지 않습니다. -20% 갭은 단일 블록에서 발생합니다. +20% 랠리는 일주일이 걸립니다. 왼쪽 꼬리와 오른쪽 꼬리를 별도로 제어할 수 있는 모델이 필요합니다.
Kou(2002)는 로그정규 점프 분포를 이중 지수 분포로 대체하여 이 문제를 해결합니다. 상방 점프는 하나의 비율로 감쇠합니다. 하방 점프는 다른 비율로 감쇠합니다. 두 개의 서로 다른 꼬리에 대해 두 개의 별도 조절 장치를 제공합니다.
In Merton: ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²).
Kou에서: 점프 크기 Y = ln(J) 는 양수 값과 음수 값에 대해 별도의 감쇠율을 갖는 이중 지수 분포 를 따릅니다.
실질적인 결과: Merton에서는 (μJ 를 더 음수로 만들어) 스마일의 왼쪽 윙을 가파르게 하면 오른쪽 윙도 함께 끌려옵니다. 정규 분포는 평균을 중심으로 대칭입니다. Kou는 양쪽 윙을 완전히 분리합니다.
이중 지수 분포
점프 크기 Y는 0에서 접합된 두 개의 지수 반쪽으로 이루어진 밀도를 가집니다. 각 반쪽은 자체 속도로 감쇠합니다. 이것이 핵심 혁신입니다.
f(y) = (1−p)·η₂·eη₂y for y < 0 (down-jumps)
η₂ 는 하방 점프 감쇠를 제어합니다. 작은 η₂ 는 하방 점프가 클 수 있음(두꺼운 왼쪽 꼬리)을 의미합니다. 평균 하방 점프 = 1/η₂.
p 는 주어진 점프가 상방일 확률입니다.
아래 파라미터를 조절하며 밀도가 변하는 것을 관찰하세요. 핵심 실험: η₁ 를 η₂ 보다 훨씬 크게 설정합니다. 오른쪽 꼬리(상방 점프)는 얇아지고 0 부근에 집중되는 반면, 왼쪽 꼬리(하방 점프)는 멀리까지 뻗어나갑니다. 그것이 바로 크래시 리스크의 형태입니다.
시도해 볼 세 가지 실험:
1. η₁ = η₂ = 5, p = 0.5 로 설정합니다. 밀도가 대칭입니다. 양쪽 꼬리가 동일합니다. 이는 평균 점프가 0인 Merton과 본질적으로 동등합니다.
2. η₁ = 10, η₂ = 2, p = 0.3 로 설정합니다. 두꺼운 왼쪽 꼬리, 얇은 오른쪽 꼬리, 대부분의 점프가 하방으로 갑니다. 전형적인 크래시 국면입니다.
3. p를 0.9 쪽으로 올립니다. 대부분의 점프는 상방으로 가지만, 실제로 발생하는 하방 점프는 여전히 η₂ 에 의해 독립적으로 지배됩니다.
비대칭 점프가 중요한 이유
다음의 비율: η₁ 대 η₂ 와 파라미터 p는 함께 내재변동성 스마일의 스큐를 제어합니다. 결정적으로, 이들은 각 윙(wing)을 독립적으로 제어합니다.
크립토 토큰을 생각해 보세요. 디페그 크래시는 급격하고 깊습니다 — 즉 작은 η₂ (두꺼운 왼쪽 꼬리)를 의미합니다. 정상적인 상승 가격 움직임은 점진적입니다 — 즉 큰 η₁ (얇은 오른쪽 꼬리)를 의미합니다. 그 결과로 나타나는 스마일은 가파른 풋 윙과 완만한 콜 윙을 가집니다. 시장에서 정확히 보이는 그대로입니다.
아래 탐색기에서 η₂ 만 변경할 때 오른쪽 윙은 움직이지 않고 왼쪽 윙이 어떻게 가팔라지는지 관찰해 보세요. 그런 다음 η₁ 를 변경해 보세요 — 오른쪽 윙이 독립적으로 가팔라집니다. 이것이 Kou의 실용적 강점입니다: 각 윙을 시장에 개별적으로 피팅합니다.
p가 스큐에 중요한 이유: p = 0.3이면 (대부분의 점프가 하락), OTM 풋이 꾸준한 하락 점프 리스크의 흐름을 보게 되므로 왼쪽 윙이 부풀어 오릅니다. 오른쪽 윙은 더 조용합니다 — 그곳에 도달하는 점프가 더 적습니다.
왜 η 비율이 스큐에 중요한가: p = 0.5 (점프 확률이 동일)일 때조차, 만약 η₂ 가 η₁ 보다 훨씬 작으면, 하락 점프가 평균적으로 훨씬 큽니다. 동일한 수의 하락 점프가 점프당 더 넓은 범위를 커버하기 때문에 이는 풋 윙을 들어 올립니다.
닫힌 형태의 이점
지수분포에는 특별한 성질이 있습니다: 바로 무기억성(memoryless)입니다. 어떤 점프가 특정 장벽 x를 초과한다는 것을 알고 있다면, 초과분(점프 − x)은 새로운 점프와 정확히 동일한 분포를 가집니다. 이것이 Kou에게 닫힌 형식의 배리어 가격을 제공하는 요인입니다.
배리어 옵션에 무엇이 필요한지 생각해 보세요: 가격이 장벽을 넘은 이후 어디에 도달하는지에 대한 분포를 알아야 합니다. 가우시안 점프(Merton)에서는 초과분 분포가 엉망입니다 — 장벽을 얼마나 지나쳤는지에 따라 달라집니다. 지수 점프에서는 초과분이 무기억적입니다: 장벽을 넘었다는 조건 하의 조건부 분포가 무조건부 분포와 동일합니다. 이것이 수학을 다루기 쉽게 만듭니다.
결과: Kou(2004)는 녹인/녹아웃 배리어, 룩백 옵션, 영구 아메리칸 옵션에 대한 닫힌 형태의 해를 도출했습니다. Merton에는 그러한 공식이 없습니다. 이그조틱을 가격 산정하고 해석적 그릭스가 필요하다면 Kou가 승리합니다.
왼쪽 패널은 임계값 x가 표시된 전체 지수 밀도를 보여줍니다. 음영 영역은 x를 초과할 확률입니다. 오른쪽 패널은 다음의 조건부 밀도를 보여줍니다: 초과분 (Y − x), given Y > x. 임계값을 이리저리 움직여 보세요: 조건부 밀도는 항상 원래와 동일한 모양입니다. 그것이 무기억성입니다.
η 를 움직여 보면 두 패널이 동일하게 다시 스케일링되는 것을 확인할 수 있습니다. 초과분의 모양은 임계값을 어디에 설정하든 결코 영향을 받지 않습니다. 배리어 가격 산정에서 이는 장벽에서의 초과분 분포가 해석적으로 알려져 있음을 의미합니다 — 시뮬레이션이 필요 없습니다.
Kou vs Merton vs Heston
각 모델은 역할이 있습니다. Merton과 Heston에 대해 Kou가 어디에 들어맞는지 이해하는 것이 마지막 조각입니다.
Kou: 비대칭 점프, 독립적 윙 제어, 닫힌 형식의 이색 옵션. 뚜렷한 크래시 비대칭성을 가진 시장(크립토, 단일 종목 주식)과 해석적 배리어 또는 룩백 가격이 필요할 때 최적입니다.
Merton: 더 단순하고 대칭적인 점프. 파라미터가 적습니다. 스마일이 대체로 대칭이거나 바닐라만 가격 산정할 때 충분히 좋습니다. 점프 모델의 업계 출발점입니다.
Heston: 확률적 변동성, 점프 없음. 변동성-스팟 상관관계를 통해 스큐를 생성합니다 (ρ). vol-of-vol이 기간구조를 주도하는 장기 만기에서 우세합니다. 점프가 만들어내는 단기 윙의 가파름은 생성할 수 없습니다.
위 차트는 동일한 총 점프 분산을 가진 Kou와 Merton 스마일을 겹쳐 보여줍니다. 두 모델 모두 총량 면에서 동일한 양의 점프 리스크를 추가하지만, Kou는 그 중 더 많은 부분을 왼쪽 꼬리에 배분합니다. Kou의 왼쪽 윙이 더 두껍고(더 가파른 풋 윙) 오른쪽 윙은 더 얇은 것을 확인하세요. Merton은 리스크를 더 고르게 나눕니다.
Black-Scholes: 평평한 스마일. 스큐 없음, 윙 없음.
Merton: 날개가 있는 스마일입니다. 대칭 점프 분포는 양쪽 날개가 함께 움직인다는 것을 의미합니다. 단기 바닐라에 적합합니다.
Kou: 스마일과 독립적인 날개입니다. 비대칭 점프 분포입니다. 배리어와 룩백에 대한 닫힌 형태 해가 있습니다. 크립토에 더 잘 맞습니다.
Heston: 확률적 변동성에서 나오는 스마일입니다. 장기 만기에서도 지속됩니다. 점프가 없어서 단기 날개가 너무 평평합니다.
Bates: Heston + Merton 점프입니다. 주력 모델입니다. 가장 까다로운 응용에서는 Merton 점프 구성요소를 Kou 스타일의 이중 지수 점프로 대체합니다.
다음으로 갈 곳:
Merton 점프확산 모델 — 대칭 점프의 선구자
Variance Gamma — 확산이 전혀 없는 순수 점프 모델
Heston 모델 — 확률적 변동성, 점프 없음
Bates 모델 — Heston + 점프: 업계의 주력 모델