처음부터 배우는 Heston
1/5분산은 살아 있다
블랙-숄즈는 변동성을 계약에 새겨진 고정된 숫자처럼 취급합니다. 절대 변하지 않습니다. 세상이 그렇게 작동하지 않는 것은 분명합니다. 헤스턴은 분산에 고유한 확률 미분 방정식을 부여하여 이를 해결합니다.
Black-Scholes에서 현물 가격은 상수 σ 를 가진 하나의 SDE를 따릅니다. 모든 옵션, 모든 행사가격, 모든 만기가 동일한 변동성을 사용합니다. 이 모델은 내부적으로 일관되지만 틀렸습니다: 시장은 모든 행사가격마다 다른 σ 를 제시합니다. 그것이 스마일이며, BS는 이를 만들어낼 수 없습니다.
현물 가격을 자동차로, 분산을 도로 표면으로 생각해 보십시오. BS에서는 도로가 어디서나 완벽하게 매끄러운 아스팔트입니다. 헤스턴에서는 도로 표면 자체가 변합니다 -- 때로는 자갈길, 때로는 빙판, 때로는 새 포장도로입니다. 자동차는 지금 달리는 표면에 반응합니다. 도로가 울퉁불퉁할수록 주행도 거칠어집니다.
Heston은 이렇게 말합니다: 현물은 BS처럼 움직이지만 변동하는 √v를 사용하며 상수가 아닙니다 σ. 그리고 분산은 자체적인 평균회귀 제곱근 프로세스를 따릅니다:
두 번째 줄: 분산은 자체 드리프트(θ쪽으로 끌림)와 자체 노이즈(σ로 스케일링됨)를 가집니다.
세 번째 줄: 두 브라운 운동은 상관관계를 가집니다. 이것이 스큐의 배후 엔진입니다.
그 두 번째 방정식은 CIR(Cox-Ingersoll-Ross) 프로세스입니다 -- 금리에 사용되는 것과 동일한 프로세스입니다. 여기에는 내장된 하한선이 있습니다: √v 확산 항은 v가 0에 가까워질수록 축소되어, (적절한 조건 하에서) 분산이 음수가 되는 것을 방지합니다.
그 결과: 변동성은 급등하고, 잦아들고, 군집을 이루고, 현물과 함께 움직일 수 있습니다. 이 모든 패턴은 실제 시장에서 관찰됩니다. BS는 그중 어느 것도 재현하지 못합니다. 헤스턴은 가능합니다.
다섯 가지 파라미터
헤스턴에는 정확히 다섯 개의 자유 파라미터가 있습니다. 각각은 시장 행태에 대한 서로 다른 이야기를 들려줍니다. 대시보드처럼 읽는 법을 익혀 보십시오.
κ (kappa) -- 평균회귀 속도. 분산이 장기 수준으로 얼마나 강하게 끌려오는지를 나타냅니다. 높은 κ 값은 변동성 급등이 단기적임을 의미합니다: 프로세스가 빠르게 되돌아옵니다. 낮은 κ 값은 변동성 국면이 지속됨을 의미합니다. 크립토에서는κ 값이 낮은 경향이 있습니다 -- 충격 이후에도 변동성이 높게 유지됩니다.
θ (theta) -- 장기 분산. 분산이 시간이 지나면서 수렴해가는 수준입니다. 만약 √θ을 취하면, 대략적인 장기 ATM 변동성을 얻습니다. BTC의 경우 일반적으로 연율화 기준 50-70% 부근입니다.
σ (sigma) -- vol-of-vol. 분산 프로세스 자체가 얼마나 불규칙한지를 나타냅니다. σ = 0일 때는 스마일이 전혀 없습니다 -- 결정론적 변동성 세계로 돌아갑니다. σ가 증가하면 스마일의 양쪽 날개가 모두 올라갑니다. 이렇게 생각하세요: 분산의 무작위성이 클수록 = 꼬리가 두꺼워지고 = 외가격 (OTM) 옵션이 더 비싸집니다.
ρ (rho) -- 현물-변동성 상관관계. 현물 움직임과 변동성 움직임 간의 방향성 연결입니다. 음의 ρ 값은 현물 하락, 변동성 상승을 의미합니다. 이것은 스큐에서 가장 중요한 단일 파라미터입니다. 다음 섹션에서 자세히 다룹니다.
v₀ -- 초기 분산. 분산이 현재 어디에 있는지를 나타냅니다. 만약 v₀가 θ보다 높으면, 단기 옵션은 현재의 스트레스를 가격에 반영하고 장기 옵션은 정상 수준으로 되돌아갑니다. 변동성 급등 이후에는 v₀ >θ 이고 기간구조가 역전됩니다.
위의 슬라이더를 드래그해 보세요. 한 번에 하나의 파라미터에 집중하세요. 가장 큰 통찰: ρ 는 스마일을 왼쪽 또는 오른쪽으로 기울입니다. σ 는 스마일을 넓힙니다. κ/θ/v₀ 는 수준과 기간구조를 설정합니다.
상관관계가 스큐를 만드는 원리
이것이 헤스턴의 핵심 수학적 통찰입니다. 음의 ρ는 현물이 하락할 때 분산이 상승하는 경향이 있음을 의미합니다. 이 하나의 관계가 주식 및 크립토 시장에서 보이는 왼쪽으로 기울어진 스마일 전체를 만들어 냅니다.
그 메커니즘을 단계별로 살펴보겠습니다:
1. 현물이 하락합니다 (dW₁ 가 음수).
2. ρ < 0 이므로, dW₂ 는 양수가 되는 경향이 있습니다.
3. 양의 dW₂ 는 분산을 상승시킵니다.
4. 분산이 높아진다는 것은 기초자산의 변동성이 더 커졌다는 의미입니다.
5. OTM 풋(낮은 행사가격)이 내가격으로 만기될 가능성이 더 커집니다.
6. 시장은 이를 더 높게 가격에 반영합니다. 스마일의 왼쪽 날개가 상승합니다.
그 반대도 성립합니다: 현물 상승, 변동성 하락. 콜 쪽 옵션은 변동성 프리미엄의 일부를 잃습니다. 그래서 오른쪽 윙이 보통 왼쪽보다 평평합니다.
위의 세 가지 프리셋을 클릭해 전환해 보십시오. 차이는 극적입니다:
ρ = −0.7: 강한 왼쪽 스큐입니다. 이것이 주식 및 크립토 시장의 모습입니다. 시장이 하락할 때 변동성이 급등하기 때문에 하방 보호는 비쌉니다.
ρ = 0: 대칭적인 스마일입니다. 현물과 변동성 사이에 방향성 선호가 없습니다. vol-of-vol에서 순수한 곡률을 얻지만 기울기는 없습니다.
ρ = +0.3: 오른쪽 스큐입니다. 상방 옵션이 상대적으로 비쌉니다. 실무에서는 드물지만, 공급 충격이 가격과 불확실성을 함께 끌어올리는 원자재 시장에서 발생할 수 있습니다.
ρ 는 직접적으로 다음에 매핑됩니다 바나 익스포저. 바나는 변동성 변화에 대한 델타의 민감도입니다. ρ 가 강하게 음수일 때, OTM 풋은 큰 양의 바나를 가집니다. 즉 변동성이 상승하면 델타가 더 음수가 됩니다. 이것이 매도 상황에서 숏 풋 포지션이 더 위험해지는 이유입니다 -- 숏 바나이기 때문입니다.
특성 함수
대부분의 확률적 변동성 모델은 가격 산출에 몬테카를로 시뮬레이션이 필요합니다. 헤스턴에는 비법이 있습니다: 알려진 특성 함수의 푸리에 역변환으로 옵션 가격을 계산할 수 있습니다. 시뮬레이션이 필요 없습니다.
표준 블랙-숄즈 콜 가격 공식은 다음과 같은 형태를 가집니다 C = S·N(d₁) − K·e−rTN(d₂). Heston은 유사한 구조를 가집니다:
핵심 대상은 특성함수 φ(u)입니다. 이는 만기 시 로그-현물 가격의 확률분포에 관한 모든 것을 담고 있습니다. 주파수 공간에서의 분포의 지문이라고 생각하면 됩니다.
이것이 왜 작동할까요? 세 단계입니다:
1. 적률생성함수. Heston SDE가 아핀(상태 변수에 대해 선형)이기 때문에 적률생성함수를 닫힌 형태로 풀 수 있습니다. 이것이 Heston을 특별하게 만드는 수학적 우연입니다.
2. 특성함수 = 허수축 상의 MGF. 특성함수는 다음과 같습니다 φ(u) = E[eiu·X] where X = ln(ST). MGF를 얻고 나면, 다음을 얻게 됩니다 φ.
3. 밀도를 위해 역변환하고, 가격을 위해 적분합니다. 표준 푸리에 역변환은 위험중립 밀도를 다음으로부터 복원합니다 φ. 그 밀도를 페이오프에 대해 적분하면 옵션 가격을 얻습니다. 적분은 1차원이며 마이크로초 단위로 수렴합니다.
그 결과: 전체 스마일을 몇 분이 아니라 몇 밀리초 만에 계산할 수 있습니다. 이 덕분에 캘리브레이션이 실현 가능해집니다. 옵티마이저 안에서 이 적분을 수천 번 평가하여 관측된 스마일에 다섯 개의 파라미터를 피팅할 수 있습니다.
Heston(1993) 이전에도 확률변동성 모델은 존재했지만 비실용적이었습니다 -- 단일 옵션의 가격을 매기려면 경로를 시뮬레이션해야 했습니다. Heston의 특성함수는 확률변동성을 트레이딩 데스크에서 사용 가능하게 만들었습니다. 모든 후속 모델(Bates, double Heston, rough Bergomi)은 이 푸리에 가격결정 구조를 보존하거나 근사하려고 합니다.
헤스턴이 한계에 부딪힐 때
헤스턴은 우아하지만 실질적인 한계가 있습니다. 분산 프로세스가 0에 닿을 수 있고, 스마일 형태는 크립토에 비해 너무 경직되어 있으며, 다섯 개 파라미터 피팅 문제는 국소 최적해의 지뢰밭입니다.
펠러 조건. 분산이 엄격히 양수로 유지되려면 다음이 필요합니다:
실무에서 피팅된 Heston 파라미터는 펠러 조건을 자주 위반합니다. 시장은 펠러 조건이 허용하는 것보다 더 많은 vol-of-vol(σ)을 원합니다. 위반되면 분산 프로세스가 0에 닿을 수 있고 "반사" 또는 "흡수"되어야 하는데 -- 이는 수치적 골칫거리를 만들고 날개 부분에서 모델의 신뢰도를 떨어뜨립니다.
σ 값을 높여 펠러 조건이 깨지는 것을 관찰해 보십시오. 빨간 경로는 0에 도달합니다. 실제 프라이싱 엔진에서는 이러한 0 접촉이 특별한 처리를 요구하여 속도를 늦추고 미묘한 오류를 유발합니다.
크립토 스마일은 너무 가파릅니다. 단기 크립토 옵션은 종종 극도로 가파른 스큐와 넓은 날개를 가집니다. Heston의 CIR 분산 프로세스는 이를 포착하기에 너무 매끄럽습니다. 모델의 날개 거동은 일정한 기울기에 접근하지만, 실제 크립토 날개는 그보다 더 가파릅니다. 이것이 크립토 데스크가 다음을 사용하는 이유입니다 SVI 또는 SSVI 를 사용하고 Heston은 프로덕션 피팅 엔진이 아닌 개념적 도구로 취급하는 것이 좋습니다.
5개 파라미터 피팅은 불안정합니다. 서로 다른 파라미터 조합이 거의 동일한 스마일을 만들어낼 수 있습니다. 옵티마이저에는 다수의 국소 최솟값이 존재합니다. 매일의 캘리브레이션이 유사한 가격을 산출하면서도 완전히 다른 파라미터 집합 사이를 오갈 수 있습니다. 이는 그릭스가 어떤 파라미터 집합에 도달했는지에 따라 달라지기 때문에 헤징을 신뢰할 수 없게 만듭니다.
이러한 문제를 해결하는 확장 모델:
Bates = Heston + 점프. 현물 프로세스에 점프 요소를 추가하면 비현실적인 σ 값 없이도 더 두꺼운 단기 만기 윙을 얻을 수 있습니다. 점프 강도와 크기가 추가 파라미터를 더하지만, 특성함수는 여전히 준-닫힌 형태를 유지합니다.
확률적 로컬 볼(SLV). Heston 방식의 확률적 분산과 로컬 볼 오버레이를 결합합니다. (로컬 볼로부터) 관측된 표면에 대한 정확한 캘리브레이션과 (확률적 요소로부터) 현실적인 다이내믹스를 동시에 얻습니다. 이것이 많은 프로덕션 데스크가 실제로 운용하는 방식입니다.
Rough Bergomi. 매끄러운 CIR 분산 프로세스를 프랙셔널 브라운 운동(Hurst 파라미터 H가 0.1 부근)으로 대체합니다. 분산 경로가 거칠고 들쭉날쭉해져 관측된 볼 거동과 훨씬 더 잘 맞습니다. 대가로: 닫힌 형태의 특성함수가 존재하지 않습니다.
다음 단계:
SVI 파라미터화 -- 크립토 변동성 표면을 위한 스마일 피팅 표준
SABR 모델 -- 평균 회귀 없는 확률적 변동성, 더 간단한 피팅
Rough Bergomi -- 분수 확률적 변동성, 거친 경로
보간 방법 -- 모든 방법 비교