제로부터 배우는 변위 확산
1/5원점을 이동하면 스마일이 생깁니다
Black-Scholes는 현물가격이 현재 수준에서 로그정규 분포로 확산한다고 가정합니다. 변위 확산(displaced diffusion)은 한 가지만 바꿉니다: 원점을 이동시킵니다. 확산은 여전히 로그정규이지만, 확산이 이루어지는 축이 옮겨진 것입니다.
SDE는 아주 단순합니다:
이것이 모델의 전부입니다. 표준 BS에 파라미터 d 하나만 추가한 것입니다. 확산 계수가 S가 아니라 (S + d)에 비례합니다. 이 이동이 로그정규 스마일의 대칭성을 깨뜨려 스큐를 만들어 냅니다.
원점을 이동하면 왜 스큐가 생길까요? 이동된 변수의 퍼센트 변동성은 σ로 일정하지만, S 자체의 퍼센트 변동성은 가격 수준에 따라 달라지기 때문입니다. S가 낮을 때는 S + d가 S에 비해 상대적으로 크므로 퍼센트 기준 실효 변동성이 높아집니다. S가 높을 때는 변위 d의 영향이 줄어들어 BS 경우에 가까워집니다.
다른 영점에서 측정한다고 상상해 보십시오. 0이 아니라 −d에서부터 측정하는 것입니다. 기초자산은 변하지 않았지만 측정 기준자가 바뀌었습니다. 이러한 기준 좌표계의 변화만으로도 기울어진 스마일이 만들어집니다.
변위 파라미터
변위 d는 조절할 수 있는 유일한 파라미터입니다. 스큐의 방향과 크기를 결정합니다. 이 파라미터의 역할을 이해하면 모델 전체를 이해한 것입니다.
d > 0 (양의 변위): 원점이 오른쪽으로 이동합니다. 주어진 σ에 대해 낮은 가격에서는 실효 변동성이 더 크고(S + d가 S에 비해 크기 때문), 높은 가격에서는 더 작습니다. 결과: 내재변동성 곡선이 왼쪽에서 오른쪽으로 하향 기울기를 가집니다. 이것이 음의 스큐이며, 주식 및 크립토 시장과 같은 방향입니다.
d < 0 (음의 변위): 원점이 왼쪽으로 이동합니다. 이제 높은 가격에서 비례적으로 변동성이 더 커집니다. 결과: 양의 스큐. 흔치 않지만 가격이 오를수록 변동성이 커지는 시장(예: 일부 원자재)을 모델링할 수 있습니다.
d = 0: 이동 없음. Black-Scholes로 돌아갑니다. 평평한 스마일입니다.
위 슬라이더를 드래그해 보십시오. d를 키울수록 스마일이 점점 기울어지는 것을 확인할 수 있습니다. 변위 확산의 스마일에는 곡률이 없으며, 윙에서 거의 선형입니다. 이것이 근본적 한계입니다: DD는 기울기는 만들 수 있지만 실제 시장에서 보이는 U자형은 만들 수 없습니다.
변위 확산 = 이동된 Black-Scholes
DD를 유용하게 만드는 실무적 핵심은 이것입니다: 새로운 가격결정 공식이 필요 없습니다. 이동된 입력값으로 표준 Black-Scholes를 실행하면 됩니다. S를 (S + d)로, K를 (K + d)로 바꾸면 끝입니다.
논리는 간단합니다. S̃ = S + d 를 정의합니다. 그러면 SDE는 dS̃ = σ·S̃·dW 가 되며, 이는 이동된 변수에 대한 단순한 기하 브라운 운동입니다. 표준 BS는 S̃ 에 적용되며 행사가격은 K̃ = K + d.
이것이 마이너스 금리 시대에 금리 데스크들이 DD를 빠르게 도입한 이유입니다. 새 소프트웨어가 필요 없었습니다. 입력값에 시프트를 더하고 기존 Black-Scholes 인프라를 그대로 유지했습니다. 시프트는 보통 하루 한 번 ATM 변동성과 추가 지점 하나로 캘리브레이션했습니다.
그릭스도 함께 이동합니다. 델타는 이동된 옵션의 BS 델타입니다. 감마는 BS 감마, 베가는 BS 베가입니다. 유일한 주의점은 헤지를 계산할 때 민감도를 원래(이동 전) 좌표로 다시 조정해야 한다는 것입니다.
CEV 및 SABR과의 연결
변위 확산은 CEV 모델의 선형화된 버전입니다. 시프트 파라미터를 추가하고 β = 1로 설정한 SABR은 근사적으로 변위 확산과 같습니다. 이 연결 관계를 이해하면 DD가 모델 계층에서 정확히 어디에 위치하는지 알 수 있습니다.
CEV(상수탄력성분산) 는 dS = σ·Sᵝ·dW 를 사용하며, 여기서 β 는 탄력성입니다. β = 1일 때는 BS입니다. β < 1일 때는, 낮은 S에서 변동성이 더 높고 높은 S에서 더 낮습니다 -- DD와 질적으로 동일한 동작입니다.
연결점: S의 1차 테일러 전개ᵝ 를 S = F 근처에서 하면 대략 (S + d)가 되는데, 여기서 특정 d는 β 와 F에 의존합니다. 따라서 DD는 포워드 근처에서 CEV를 선형화한 근사입니다. 두 모델은 ATM 근처에서 거의 동일한 스마일을 만들고 먼 윙에서 갈라집니다.
두 곡선이 ATM 근처에서는 겹치지만 윙에서는 갈라지는 것을 확인하십시오. DD는 행사가에 대해 거의 선형인 스마일을 만듭니다. CEV는 멱법칙 백본이 휘어지기 때문에 곡률을 만듭니다. ATM에서 몇 행사가 이내의 실무적 용도에서는 대부분 서로 대체 가능합니다.
SABR과의 연결: SABR 모델에서 β = 1인 경우가 로그정규 SABR입니다. 선도가격에 시프트를 더하면(shifted SABR) 변위된 변수에 대한 SABR(β = 1)이 됩니다. 변동성의 변동성이 0인 극한(ν = 0)에서는 정확히 변위 확산으로 수렴합니다. 따라서 DD는 shifted SABR의 퇴화된 특수 사례이며, 그 계열에서 가장 단순한 모델입니다.
그래서 DD를 BS에 스큐를 더하는 가장 단순한 방법이라고 부릅니다. 파라미터 하나, 한 방향의 기울기, 그리고 기존 BS 인프라와의 완벽한 호환성을 얻습니다. 곡률, 윙, 또는 확률적 동학이 필요하다면 CEV, SABR, Heston으로 넘어가야 합니다.
언제 충분한가
DD는 Black-Scholes의 단일 파라미터 확장입니다. 그것이 강점이자 한계입니다. 언제 쓰고 언제 넘어가야 하는지 알아야 합니다.
DD를 사용해야 할 때:
1. 완전한 모델 없이 빠른 스큐 조정이 필요할 때. 데스크 대화용으로 대략적인 스큐를 제시하거나, 더 복잡한 모델을 검증하거나, 윙보다 기울기가 중요한 바닐라 포트폴리오의 가격을 산정할 때입니다.
2. 기초자산이 0이나 음수가 될 수 있을 때(금리, 스프레드). 원래 변수가 0을 넘어가도 변위 덕분에 이동된 변수는 양수로 유지됩니다. 이것이 대표적 사용 사례입니다. 마이너스 금리 시대의 금리 데스크는 shifted lognormal에 의존했습니다.
3. 기존 BS 인프라를 그대로 유지하고 싶을 때. 새 수치 기법도, 몬테카를로도, 푸리에 역변환도 필요 없습니다. 입력값만 이동시키면 됩니다.
DD를 넘어서야 할 때:
1. 스마일 곡률이 필요할 때. DD는 거의 선형인 스큐만 만듭니다. 실제 시장의 스마일은 양쪽 윙에 볼록성이 있는 U자형입니다. DD로는 이를 포착할 수 없습니다.
2. 동적인 스마일 거동이 필요할 때. DD는 변위가 고정된 정적 모델입니다. 현물이 움직일 때 스마일이 어떻게 움직이는지에 대해서는 아무것도 말해주지 않습니다. 동적 헤징에는 SABR, Heston, SLV가 필요합니다.
3. 이색옵션의 가격을 산정할 때. 경로 의존형 옵션은 스냅샷이 아니라 변동성의 동학을 기술하는 모델이 필요합니다. DD에는 변동성 동학이 없습니다.
특히 크립토에는 DD가 너무 단순합니다. 크립토의 스마일은 가파르고, 곡률이 있으며, 동적입니다. DD로 대략적인 첫 기울기는 잡을 수 있지만, 실제 프로덕션 변동성 표면에서는 SVI, SABR, 또는 더 정교한 모델을 사용하게 됩니다.
모델 계층을 사다리라고 생각해 보십시오: Black-Scholes(평평한 스마일) → 변위 확산(기울어진 스마일) → CEV/SABR(동학을 갖춘 곡률 스마일) → Heston/SLV(풍부한 구조의 확률적 변동성). 각 단계는 복잡성을 더하지만 설명력도 더합니다. DD는 BS 바로 위의 첫 번째 단입니다. 실무에서 쓰지 않더라도 알아둘 가치가 있습니다. 스큐가 근본적으로 변동성이 기초자산 수준에 따라 어떻게 변하는지의 문제임을 가르쳐 주기 때문입니다.