제로부터 배우는 CEV
1/5하나의 파라미터가 전체 백본을 제어합니다
CEV는 스큐를 만들어내는 가장 단순한 모델일 것입니다. 하나의 지수 -- β -- 가 확산 계수가 현물 수준에 따라 어떻게 스케일링되는지 결정합니다. 그것이 전부입니다.
Black-Scholes에서 현물 SDE는 dS = σ·S·dW 입니다. 노이즈 항이 S에 비례하므로 백분율 변동성은 일정합니다. CEV는 이를 다음과 같이 일반화합니다:
β = 0: Bachelier / 정규 모델을 얻습니다. 확산은 σ·dW -- 가법적 노이즈로, 가격 의존성이 전혀 없습니다.
0 < β < 1: 그 중간의 어떤 것입니다. 확산은 S에 따라 증가하지만 비례보다는 느리게 증가합니다.
다음을 생각해 보십시오: β 를 믹싱 보드의 다이얼처럼 여기십시오. 완전히 오른쪽으로(β = 1) 돌리면 로그정규 세계를 얻습니다 -- 일정한 백분율 흔들림입니다. 완전히 왼쪽으로(β = 0) 돌리면 정규 세계를 얻습니다 -- 일정한 달러 흔들림입니다. 그 사이의 모든 것은 혼합입니다. 이 모델은 점프, 레짐, 확률적 변동성에는 관심이 없습니다. 단지 이렇게 물을 뿐입니다: 무작위 충격의 크기가 가격 수준에 어떻게 의존하는가?
CEV에서 백분율 변동성은 σ·Sβ−1 입니다. β < 1, 일 때 지수는 음수이므로, S가 하락할수록 백분율 변동성이 상승합니다. 이것이 레버리지 효과이며, CEV 스큐의 전체 엔진입니다. 추가 파라미터도, 추가 노이즈 소스도 없습니다. 오직 지수뿐입니다.
β < 1 는 현물이 하락할 때 변동성이 상승함을 의미합니다
이것이 레버리지 효과입니다. 주식 및 크립토 시장에서 변동성은 현물이 하락할 때 일관되게 상승합니다. β < 1 인 CEV는 두 번째 확률적 요인이 필요 없이 이를 기계적으로 포착합니다.
만약 β = 0.5라면, 국소 변동성 함수는 σ·√S 입니다. S가 100에서 50으로 하락할 때, 국소 변동성은 비례하여 하락하지 않습니다 -- 오직 √(50/100) ≈ 0.71만큼만 하락합니다. 하지만 현물은 절반이나 하락했습니다. 백분율 변동성은 실제로 증가합니다.
이 효과는 자동적이고 결정론적입니다. 조정할 상관계수 파라미터도, 두 번째 브라운 운동도 없습니다. 가격-변동성 관계는 단 하나의 지수 β.
이것은 어떠한 추가 파라미터 없이도 내재변동성에 음의 스큐를 만들어냅니다. 시장이 하락하면 변동성이 기계적으로 상승하므로, 외가격 (OTM) 풋의 가치가 더 높아집니다. 스마일의 풋 윙이 들어올려집니다.
위의 시뮬레이터가 이를 명확히 보여줍니다. 왼쪽 패널: CEV 가격 경로. β < 1, 일 때 하락하는 경로는 눈에 띄게 더 노이즈가 심해집니다 -- 낮은 수준에서 더 큰 진폭을 보입니다. 오른쪽 패널: 가격 수준에 대해 그린 윈도우 실현 변동성. 음의 기울기가 레버리지 효과입니다.
β = 1로 설정하면 산점도가 평평해집니다. 가격-변동성 의존성이 없습니다. 그것이 Black-Scholes 세계입니다.
β > 1 로 설정하면 관계가 반전됩니다: 변동성이 가격과 함께 상승합니다. 이는 실무에서는 드물지만, 모델의 전체 범위를 보여줍니다.
레버리지 효과는 단순한 모델상의 흥밋거리가 아닙니다. 이는 주식, 신용, 그리고 크립토의 실현 데이터에서 관측됩니다. 시장이 급락하면 실현변동성이 급등합니다. CEV는 이것이 변동성이 자체적인 확률 과정을 갖기 때문이 아니라, 확산 계수가 기계적으로 가격 수준에 의존하기 때문이라고 설명합니다. 이는 스큐에 대한 가장 저렴한 설명입니다.
CEV로부터의 내재변동성 스마일
CEV는 전적으로 다음에 의해 제어되는 특정한 내재변동성 형태를 만들어냅니다: β. 그 형태는 U자가 아니라 기울기입니다. CEV는 스큐는 만들 수 있지만 대칭적인 스마일은 만들 수 없습니다.
매핑은 간단합니다:
β = 1: 평평한 스마일. 스큐도, 곡률도 없습니다. 이것이 Black-Scholes입니다.
β < 1: 음의 스큐. 풋 윙이 올라가고 콜 윙이 내려갑니다. β 가 1보다 더 아래로 내려갈수록 스큐가 더 가팔라집니다.
β > 1: 양의 스큐. 콜 윙이 올라가고 풋 윙이 내려갑니다. 주식/크립토에서는 드물지만 일부 상품 시장에서는 가능합니다.
결정적으로, CEV의 스마일은 단조적입니다. 한쪽 또는 다른 쪽으로 기울지만, U자 형태를 갖지는 않습니다. 대칭적인 윙 강화를 생성할 vol-of-vol이나 확률적 분산이 없기 때문에, 양쪽 윙이 동시에 들어올려질 메커니즘이 없습니다.
위의 탐색기는 두 가지 요소를 모두 보여줍니다: 국소 변동성 함수 σ·Sβ 는 왼쪽에, 그리고 그 결과로 나타나는 내재변동성 스마일은 오른쪽에 있습니다. β 를 드래그하여 이들이 함께 움직이는 것을 지켜보세요. 로컬 변동성 기울기가 스마일 기울기를 직접적으로 결정합니다.
β = 1 일 때, 로컬 변동성 함수는 원점을 지나는 직선입니다 (S에 비례). 스마일은 평평합니다. β 가 1 아래로 떨어지면, 로컬 변동성 함수는 높은 S에서 아래로 휘어집니다 -- 즉 프로세스가 더 높은 가격에서 변동성이 낮아진다는 의미입니다. 스마일은 왼쪽으로 기울어집니다.
SABR의 백본으로서의 CEV
SABR’s forward equation is dF = σ·Fβ·dW₁ 입니다. 그것이 문자 그대로 CEV 프로세스입니다. SABR은 단지 변동성 파라미터 자체에 대한 두 번째 SDE를 덧붙인 것입니다.
완전한 SABR 시스템은 다음과 같습니다:
두 번째 줄: σ 가 이제 확률적입니다. ν (vol-of-vol)은 σ 가 얼마나 변동하는지를 제어합니다. ν = 0 일 때, σ 는 상수가 되고 순수한 CEV로 돌아갑니다.
세 번째 줄: 두 브라운 운동이 상관관계를 가집니다. ρ 는 이미 β 가 제공하는 것 위에 추가적인 기울기를 더합니다.
따라서 CEV는 SABR의 결정론적 기반입니다. β 지수는 스마일의 백본 형태를 제어합니다. 그런 다음 SABR은 그 위에 확률적 변동성을 더합니다: ν 는 곡률(윙 강화)을 생성하고, ρ 는 추가적인 방향성 기울기를 더합니다.
실무에서 금리 데스크는 종종 β 를 관례적인 값(금리의 경우 0.5, 국면에 따라 때로는 0 또는 1)으로 고정한 다음, 관측된 스마일에 맞춰 σ, ν, ρ 를 캘리브레이션합니다. 백본은 한 번 선택되고, 확률적 오버레이는 매일 피팅됩니다.
위의 비교가 이를 시각적으로 보여줍니다. 실선 녹색 곡선은 CEV 단독입니다 -- 단조로운 기울기입니다. 점선 파란색 곡선은 동일한 β 를 갖지만 0이 아닌 ν 를 가진 SABR입니다. SABR은 CEV가 만들어낼 수 없는 곡률을 더합니다.
슬라이더에서 ν = 0 으로 설정하고 곡선이 완벽하게 겹치는 것을 지켜보세요. 이는 그 관계를 확인시켜 줍니다: vol-of-vol이 0인 SABR은 정확히 CEV입니다. 백본은 공유됩니다.
SABR을 캘리브레이션할 때, β 의 선택은 무해하지 않습니다. 그것은 관측된 스큐 중 얼마만큼이 백본(가격 의존적 변동성)에 귀속되고 얼마만큼이 확률적 오버레이(ρ 기울기)에 귀속되는지를 결정합니다. 서로 다른 β 선택은 서로 다른 ρ 를 결정하며, 이는 포워드 다이내믹스에 영향을 미치고 따라서 헤징 동작에도 영향을 줍니다. CEV 자체를 이해하면 β 가 SABR 내부에서 실제로 무엇을 하는지 이해하는 데 도움이 됩니다.
한계와 용도
CEV는 실제 스마일을 피팅하기에는 너무 단순합니다. 하지만 가격 의존적 변동성이 어떻게 작동하는지 이해하기 위한 올바른 멘탈 모델이며, 모든 SABR 캘리브레이션 내부에 등장합니다.
CEV가 할 수 없는 것:
곡률 없음. 실제 스마일은 기울기와 곡률을 모두 갖습니다 -- 풋 윙은 가파르고, 콜 윙은 상승합니다. CEV는 단조로운 기울기를 만들지만 U자형은 만들지 못합니다. CEV만으로 실제 크립토 스마일을 피팅하려 하면 윙을 완전히 놓치게 됩니다.
기간구조 다이내믹스 없음. CEV에는 평균회귀도, 변동성 클러스터링도, 국면 전환도 없습니다. 로컬 변동성 함수는 정적입니다. 단기 및 장기 스마일이 동일한 형태를 가지는데, 이는 관측된 기간구조 거동과 모순됩니다.
0에서의 흡수. β < 1, 의 경우 프로세스가 0에 도달하여 흡수될 수 있습니다. 이는 프라이싱에서 기술적으로 골치 아픈 문제이며 특별한 경계 조건을 필요로 합니다.
CEV가 유용한 것:
레버리지 효과 교육. 현물이 하락할 때 변동성이 상승하는 이유를 설명하는 하나의 모델을 원한다면, CEV가 바로 그것입니다. 하나의 파라미터, 하나의 메커니즘, 깔끔한 직관입니다.
SABR 백본 선택. SABR을 캘리브레이션할 때 먼저 β 를 선택합니다. CEV가 자체적으로 무엇을 하는지 이해하면, 백본에 귀속시키는 것과 확률적 오버레이에 귀속시키는 것을 구분할 수 있습니다.
빠른 스큐 근사. CEV 내재변동성 전개는 β 와 스큐 가파름 사이의 해석적 관계를 제공합니다. 누군가 스큐 수치를 제시하면, 암시된 β 를 머릿속으로 역산할 수 있습니다.
정규 대 로그정규 논쟁. 금리 시장에서는 정규(β = 0)와 로그정규(β = 1) 표시 관례 사이의 선택이 현재 진행 중인 논쟁입니다. CEV는 이를 이분법적 선택이 아니라 연속적인 스펙트럼으로 만듭니다.
CEV는 이렇게 말합니다: 랜덤 충격의 크기는 가격 수준에 의존하며, β 가 그 방식을 제어합니다. 스큐, 레버리지 효과, SABR 백본 등 나머지 모든 것은 이 하나의 아이디어에서 비롯됩니다.