제로부터 배우는 Black-Scholes

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섹션 1

콜옵션이란 무엇인가?

콜옵션은 하나의 선택권입니다: 나중에 고정 가격 K로 매수하거나, 그냥 포기할 수 있습니다. 이 한 가지 특성이 전체 만기손익 형태를 만들어냅니다.

기초자산이 행사가 아래에서 만기를 맞으면 옵션을 행사하지 않습니다. 위에서 만기를 맞으면 더 싼 고정 가격으로 매수하여 차익을 챙깁니다.

만기 시 현물가격$115

Payoff = max($115 − $100, 0) = $15 — $100 에 매수, $115

슬라이더를 움직여 보세요. K 아래에서 만기손익은 0입니다 — 절대 행사하지 않습니다. K 위에서는 만기손익이 1달러당 1달러씩 상승합니다. K에서의 그 꺾임(kink)이 옵션이 존재하는 이유 전부입니다.

비유

콘서트 티켓에 소액의 예약비를 낸다고 생각해 보세요. 재판매 가격이 폭등하면 예약은 가치가 있습니다. 가격이 낮게 유지되면 그냥 포기합니다. 옵션 프리미엄이 바로 그 예약비입니다.

섹션 2

다섯 가지 입력값

공식을 쓰기 전에, 각 기호를 지루하게 느껴지도록 만드세요. 기호가 여전히 신비롭게 남아 있으면 모델 전체가 신비롭게 남습니다.

아래 각 슬라이더를 움직여 콜 가격이 어떻게 반응하는지 지켜보세요. 모든 입력값은 밀어붙이는 방향이 있습니다. 공식을 명명하기 전에 감을 잡아 보세요.

S현물 가격$100

기초자산의 현재 위치입니다.

K행사가격$100

나중에 매수할 수 있는 가격입니다.

T만기까지의 기간1.00 yr

옵션이 유효하게 유지되는 기간입니다.

r무위험 이자율5.0%

기다리는 동안 자금이 벌어들이는 수익입니다.

σ변동성20%

미래 가격 범위가 얼마나 넓게 느껴지는지입니다.

콜 가격

$11.91

풋: $7.03

d₁ = 0.3500 · d₂ = 0.1500

한 문장 요약: Black-Scholes는 기초자산이 지금 어디에 있는지(S), 어디서 매수할 수 있는지(K), 시간이 얼마나 남았는지(T), 미래가 얼마나 넓어질 수 있는지(σ), 기다리는 비용이 얼마인지(r)에 따라 가치가 달라지는 권리의 가격을 매깁니다.

섹션 3

두 개의 큰 조각

대부분의 사람들은 최종 공식을 먼저 접합니다. 그것은 순서가 거꾸로입니다. 먼저 이야기를 배우고, 그 위에 기호를 얹으세요.

아래 세 개의 레이어를 클릭해 보세요. 영어가 수식으로 변하는 것을 지켜보세요.

개념

콜 가격 = 기초자산과 같은 상승 여력 − 나중에 매수하는 비용

C = S · N(d₁) − K · e⁻ʳᵀ · N(d₂)

수식의 아무 부분에나 마우스를 올리면 그 의미를 확인할 수 있습니다.

첫 번째 조각은 기초자산과 유사한 상승 여력을 얼마나 얻는지입니다. 두 번째 조각은 그 대가로 지불해야 할 금액을 오늘 시점으로 할인한 값입니다. 그 차이가 옵션의 가치입니다.

N(d₁)과 N(d₂)는 0과 1 사이의 가중치입니다. 정규분포에서 나옵니다. 다음에 이를 풀어보겠습니다.

섹션 4

d₁과 d₂는 무엇인가?

대부분의 사람들을 겁먹게 하는 부분입니다. 신비로운 것이 아닙니다. 이들은 스코어카드입니다 — 옵션 설정이 얼마나 유리한지를 한 만기 동안의 변동성 단위로 측정합니다.

N(d)는 종 모양 곡선에서 d의 왼쪽 면적입니다. 슬라이더를 움직여 음영 처리된 면적 — 가중치 — 이 어떻게 변하는지 지켜보세요.

d₁0.35

N(d₁)0.6701

N(d₂)0.5793

d₂ = d₁ − σ√T0.15

d₁ 분해하기:

d₁ 분자

ln(S/K) + (r + σ²/2)T

ln(S/K) — 우리는 로그 스케일에서 행사가 위에 있나요, 아래에 있나요?
(r + σ²/2)T — 옵션 수명 동안의 드리프트와 변동성 보정입니다.

d₁ 분모

σ√T

옵션 한 수명 분의 변동성입니다. 이것이 모든 것을 측정하는 자입니다. 분자는 설정이 얼마나 유리한지 알려주고, 분모는 그것을 “흔들림” 단위로 표현합니다.

d₂

d₂ = d₁ − σ√T

같은 스코어카드에서 한 수명 분의 변동성을 뺀 것입니다. N(d₁)은 기초자산과 유사한 조각에 가중치를 부여합니다. N(d₂)는 행사가 지급 조각에 가중치를 부여합니다.

섹션 5

완전한 예제 풀어보기

숫자가 이것을 실감 나게 만듭니다. 친숙한 기본값으로 시작한 다음, 입력값을 바꿔 모든 중간 단계가 갱신되는 것을 지켜보세요.

S

K

T

r

σ

ln(S/K) = ln(100/100) = 0.0000▸

정확히 행사가격 — 내재된 머니니스 우위가 없습니다.

(r + σ²/2)T = (0.05 + 0.0200) × 1 = 0.0700▸

옵션 존속 기간 동안의 드리프트 + 변동성 보정입니다.

σ√T = 0.2 × 1.0000 = 0.2000▸

존속 기간 1회분의 변동성 — 측정 기준입니다.

d₁ = 0.0700 / 0.2000 = 0.3500▸

설정은 0.35만큼 유리한 방향으로 흔들립니다.

d₂ = 0.3500 − 0.2000 = 0.1500▸

동일한 값에서 존속 기간 1회분의 변동성을 뺀 것입니다.

N(d₁) = 0.6701, N(d₂) = 0.5793

정규분포에서 얻은 두 개의 가중치입니다.

C = 100 × 0.6701 − 100 × e^(-0.0500) × 0.5793▸

$67.01의 상승분에서 $55.10의 할인된 비용을 뺀 값입니다.

C = $11.91

Black-Scholes 콜옵션 가격입니다.

섹션 6

왜 다른 가격이 아니라 이 가격인가

Black-Scholes는 추측이 아닙니다. 그 근간은 복제입니다: 기초자산과 현금으로 옵션을 복제할 수 있다면, 옵션과 복제본은 같은 비용이어야 합니다.

한 기간으로 단순화합시다. 기초자산은 $120 또는 $80으로 갑니다. K = 100인 콜은 $20 또는 $0을 지급합니다. 이 만기손익을 정확히 맞추는 기초자산과 현금의 포트폴리오를 구성할 수 있을까요?

복제 포트폴리오

120Δ + B = 20상승 상태의 페이오프를 맞춥니다

80Δ + B = 0하락 상태의 페이오프를 맞춥니다

Δ = 0.5, B = −40주식 0.5주, $40 차입

Cost = 0.5 × 100 − 40 = $10옵션도 $10 여야 합니다 — 그렇지 않으면 차익거래가 발생합니다

복제본은 $10입니다. 옵션도 반드시 $10이어야 합니다 — 그렇지 않으면 누군가 싼 것을 사고 비싼 것을 팔아 무위험 이익을 얻습니다. 이것이 이 모델이 감이 아니라 차익거래에 의해 규율되는.

Black-Scholes는 이 복제 논증의 매끄러운 연속시간 버전입니다 — 기초자산 가격이 연속적으로 변함에 따라 무한히 여러 번 적용됩니다.

섹션 7

기억으로 써보기

각 카드를 탭하여 스스로 확인해 보세요. 네 개를 모두 채울 수 있다면 공식을 완벽하게 익힌 것입니다.

빠른 회상 점검 — 탭하여 답을 확인하세요:

다음에 볼 곳:

내재변동성 — 가격에서 모델을 거꾸로 사용하기

그릭스 레퍼런스 — 가격과 헤지 민감도를 연결하기

풋-콜 패리티 — 다음으로 완벽하게 익힐 가격결정 항등식