처음부터 배우는 정적 복제

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섹션 1

모든 페이오프는 더 단순한 페이오프의 합입니다

지금까지 본 모든 복잡한 페이오프 다이어그램은 더 단순한 조각들의 포트폴리오일 뿐입니다. 콜, 풋, 선도계약. 여러분이 보는 형태는 각 개별 페이오프 라인의 합입니다.

버터플라이는 콜 3개입니다. 스트래들은 콜과 풋의 합입니다. 칼라는 기초자산에 풋을 더하고 콜을 뺀 것입니다. 이 중 어느 것도 이색옵션이 아닙니다. 모두 그저 바닐라의 선형 결합일 뿐입니다.

아래에서 페이오프 형태를 선택한 후 분해 버튼을 눌러 녹색 곡선을 이루는 구성 요소들을 확인해 보세요. 점선은 개별 레그이며, 이들의 합이 녹색 실선입니다.

Long 90C + Long 130C + Short 2x110C

왜 중요한가

모든 페이오프가 더 단순한 페이오프의 합이라면, 어떤 페이오프의 가격 산정도 그 조각들의 가격 산정으로 환원됩니다. 그리고 그 조각들을 거래할 수 있다면, 맞춤형 상품 없이도 원하는 어떤 형태든 복제할 수 있습니다. 이것이 정적 복제의 핵심 약속입니다.

섹션 2

빌딩 블록으로서의 바닐라

콜 스프레드는 콜 2개입니다. 버터플라이는 3개, 아이언콘도르는 4개입니다. 적절한 행사가의 콜과 풋이 충분하다면 모든 구간별 선형 페이오프를 근사할 수 있습니다.

각 바닐라 옵션은 결합된 페이오프에 하나의 “꺾임(kink)”을 기여합니다. 행사가격 K의 콜은 K에서 페이오프를 위쪽으로 꺾습니다. 행사가격 K의 풋은 K 아래에서 위쪽으로 꺾습니다. 모든 꺾임은 옵션의 수량만큼 기울기를 변화시킵니다.

아래에서 직접 포트폴리오를 구성해 보세요. 서로 다른 행사가의 콜과 풋을 추가해 보세요. 결합된 페이오프가 실시간으로 갱신됩니다. 90과 120 사이에서만 평평하고 그 위아래에서는 0인 페이오프를 만들어 보세요.

콜풋K수량

콜풋K수량

핵심 원리

Combined payoff = Σ q_i · payoff_i(S)

각 레그는 임의의 현물 가격에서 자신의 수량 곱하기 개별 페이오프만큼 기여합니다. 결합된 형태는 단순한 합입니다. 이 선형성이 바로 복제를 가능하게 합니다.

섹션 3

Breeden-Litzenberger 결과

콜 가격을 행사가로 두 번 미분하면 위험중립 확률밀도를 얻습니다. 시장은 모든 가능한 결과의 확률을 암묵적으로 알려주고 있는 것입니다.

Breeden과 Litzenberger(1978)는 행사가별 콜 가격 그리드를 가지고 각 지점의 곡률을 계산하면 위험중립 분포의 밀도함수를 복원할 수 있음을 보였습니다. 모델이 필요 없습니다. 가격과 산술 연산만 있으면 됩니다.

Breeden-Litzenberger

∂²C / ∂K² = e^−rT · f(K)

f(K)는 행사가 K에서의 위험중립 확률밀도입니다. 콜 가격 함수를 행사가로 두 번 미분한 값에 할인계수를 곱한 것이 바로 그 밀도입니다. 아래 가격 그리드에 마우스를 올려 각 행사가에서의 곡률을 확인해 보세요.

행사가별 콜 가격 (S=100, r=5%)

K=60$40.75

K=64$36.80

K=68$32.86

K=72$28.94

K=76$25.06

K=80$21.29

K=84$17.70

K=88$14.42

K=92$11.61

K=96$9.53

K=100$8.50

K=104$6.24

K=108$4.00

K=112$2.56

K=116$1.62

K=120$1.01

K=124$0.63

K=128$0.38

K=132$0.23

K=136$0.14

K=140$0.08

변동성 (σ)30%

시간 (T)0.25y

녹색 곡선이 추출된 밀도입니다. 그 정점은 시장이 기초자산이 어디에서 결제될 가능성이 가장 높다고 보는지를 알려줍니다. 그 폭은 시장의 불확실성이 얼마나 큰지를 알려줍니다. 변동성을 높여서 밀도가 평평하게 퍼지는 것을 확인해 보세요.

이것은 추정치나 모델 출력이 아닙니다. 시장 가격에서 모델 없이 직접 추출한 것입니다. 유일한 가정은 콜 가격이 행사가에 대해 두 번 미분 가능하다는 것인데, 이는 무차익거래 시장이라면 항상 충족됩니다.

섹션 4

바이너리 복제하기

바이너리 콜은 행사가 위에서는 $1, 아래에서는 $0을 지급합니다. 이는 타이트한 콜 스프레드: K에서 콜을 매수하고, K+에서 콜을 매도합니다ε, 그리고 1/로 스케일링합니다ε. 스프레드 폭이 0으로 가면, 램프는 계단이 됩니다.

이것이 바닐라와 바이너리를 잇는 근본적인 연결고리입니다. 바이너리는 스프레드 폭이 0으로 줄어들 때 콜 스프레드의 극한입니다. 다시 말해, 바이너리는 콜 가격을 행사가로 미분한 값에 음의 부호를 붙인 것입니다: D(K) = −∂C/∂K.

슬라이더를 드래그해 스프레드를 좁혀 보세요. 파란색 경사면이 녹색 계단 함수로 수렴하는 것을 확인할 수 있습니다.

바이너리 (목표)Call spread (1/ε) × [C(K) - C(K+ε)]

스프레드 폭 (ε)10.0

스프레드가 넓습니다. 경사 구간은 바이너리의 근사치로는 부정확합니다.최대 오차: 100.0% (액면가 대비)

콜 스프레드에서 바이너리로

D(K) = lim_ε→0 (1/ε) · [C(K) − C(K+ε)]

콜 스프레드 페이오프는 높이 1/의 램프입니다ε 폭 ε 에 걸쳐서. ε 가 줄어들면, 램프는 가팔라져 계단 함수가 됩니다. 극한에서는 정확히 바이너리가 됩니다. 이것이 마켓메이커가 바이너리를 좁은 바닐라 스프레드로 헤지하는 이유입니다 — 델타가 유계이고, 디랙 스파이크가 없습니다.

섹션 5

임의의 페이오프 복제하기

Carr와 Madan(1998)은 두 번 미분 가능한 모든 유러피언 페이오프가 세 가지 요소로 분해될 수 있음을 증명했습니다: 선도 포지션, 선도가격 아래의 외가격(OTM) 풋 스트립, 선도가격 위의 외가격(OTM) 콜 스트립.

이것이 Carr-Madan 공식입니다. 목표 페이오프의 곡률, 즉 2차 도함수 f″(K)가 각 OTM 옵션이 얼마나 필요한지를 결정합니다. 페이오프의 선형 부분은 선도가 포착하고, 곡률은 옵션 스트립이 포착합니다.

아래에서 페이오프를 선택한 후 Carr-Madan 분해 보기 버튼을 눌러 세 가지 요소를 확인해 보세요. 노란색 선은 선도 요소, 빨간색 영역은 OTM 풋 스트립, 파란색 영역은 OTM 콜 스트립입니다. 이들의 합이 녹색 목표 페이오프가 됩니다.

F(선도가격)에서의 구분선에 주목하세요. F 아래에서는 풋만 기여하고, F 위에서는 콜만 기여합니다. 이는 임의적인 것이 아닙니다. 같은 정보량이라면 OTM 옵션이 ITM 옵션보다 저렴하기 때문에, OTM 옵션을 사용하면 복제 비용이 최소화됩니다.

실무적 시사점

Carr-Madan 분해는 분산스왑, VIX 산출, 포트폴리오 복제 전략의 이론적 토대입니다. VIX 공식은 말 그대로 이 적분의 이산 근사입니다. "옵션 스트립"이라는 표현을 볼 때마다 그 이면에는 이 수학이 있습니다.

다음 단계:

바이너리 옵션 — 복제 래더의 빌딩 블록

델타헤지 — 정적 복제의 동적 대안

내재변동성 — 가격에서 시장 기대치 추출하기