처음부터 배우는 Bates
1/5Heston + 점프 = Bates
Heston은 장기 만기 스마일을 설명합니다. 확률적 분산이 부드러운 스큐와 기간구조를 만들어냅니다. Merton은 단기 만기 스마일을 설명합니다. 가격 프로세스의 점프가 단기 만기에서 가파른 윙을 만들어냅니다. Bates는 이 둘을 하나의 모델로 결합합니다.
핵심 문제는 단순합니다. Heston은 연속적으로 움직입니다 -- 현물 가격은 절대 순간이동하지 않습니다. 따라서 Heston만으로는 1주 만기 25델타 풋이 80% 변동성에 거래되는 반면 1년 만기는 55%에 거래되는 이유를 설명할 수 없습니다. 단기 만기 윙의 가파름에는 연속 확산이 제공할 수 없는 것, 즉 순간적인 갭이 필요합니다.
Merton(1976)은 기하 브라운 운동에 포아송 점프 프로세스를 추가하여 갭 문제를 해결했습니다. 하지만 Merton에는 확률적 분산이 없어 기간구조 동역학을 재현할 수 없습니다. 하나의 만기는 잘 프라이싱하지만 커브 전체에서는 무너집니다.
Bates(1996)는 이 둘을 하나로 결합했습니다. 그 결과는 현실적인 동역학과 다루기 쉬운 프라이싱이 모두 필요한 이색옵션 데스크의 주력 모델이 되었습니다.
두 번째 줄: 분산은 Heston과 동일한 CIR 과정을 따릅니다. 여기서는 아무것도 바뀌지 않습니다.
세 번째 줄: 동일한 상관 구조입니다. ρ은(는) 여전히 매끄러운 스큐를 유발합니다.
울퉁불퉁한 도로를 달리는 자동차를 생각해 보십시오(Heston: 노면 상태가 확률적으로 변합니다). 여기에 무작위로 나타나는 포트홀을 추가합니다(Merton 점프: 차가 갑자기 푹 꺼집니다). 요철에는 서스펜션이, 포트홀에는 에어백이 필요합니다. Bates는 둘 다 제공합니다.
핵심적인 수학적 통찰은 다음과 같습니다. 점프 성분이 분산 프로세스와 독립이기 때문에 Bates의 특성함수는 Heston 특성함수에 Merton 점프 팩터를 곱한 것에 불과합니다. 따라서 프라이싱은 준해석적으로 유지되며 -- 푸리에 역변환이 여전히 작동합니다. 바닐라 옵션에는 몬테카를로가 필요 없습니다.
추가 파라미터의 역할
Bates는 Heston의 다섯 가지 파라미터(κ, θ,σ, ρ, v₀)를 물려받고 세 가지 점프 파라미터를 추가합니다:λ (점프 빈도), μⱼ (평균 점프 크기), 그리고 σⱼ (점프 변동성). 총 여덟 개의 조절 손잡이입니다.
λ (lambda) -- 점프 강도. 연간 예상 점프 횟수입니다. λ = 0이면 순수 Heston으로 돌아갑니다. λ = 2는 평균적으로 대략 연간 두 번의 점프를 의미합니다. λ이(가) 높을수록 시장이 더 많은 갭 이벤트를 옵션에 반영하기 때문에 윙이 더 위로 들립니다.
μⱼ (mu-J) -- 평균 점프 크기. 점프의 평균 로그수익률입니다. 음의 μⱼ 은(는) 점프가 하방으로 편향되어 있음을 의미합니다(폭락 점프). 이는 비대칭성을 만듭니다: 풋 윙이 콜 윙보다 더 가팔라집니다. 크립토에서는,μⱼ 은(는) 일반적으로 다음 사이에 있습니다 −0.05 and−0.15로, 청산 연쇄와 플래시 크래시를 반영합니다.
σⱼ (sigma-J) -- 점프 변동성. 점프 크기의 표준편차입니다. 평균 점프가 0이더라도, 0이 아닌 σⱼ 는 대칭적인 윙 상승을 만듭니다. 이는 무작위 크기 점프에서 비롯된 순수한 초과 첨도입니다. 더 큰σⱼ 는 더 두꺼운 꼬리를 의미합니다.
위에서 점프를 켜고 끄며 전환해 보세요. 점프가 꺼지면 순수한 Heston(파란 점선)이 보입니다. 켜면 윙이 올라가는데 -- 특히 왼쪽 윙이 그렇습니다. 왜냐하면 μⱼ < 0 이 점프를 아래쪽으로 편향시키기 때문입니다. λ 를 3이나 4로 올리면 효과가 극적입니다. μⱼ = 0 으로 설정하면 상승이 대칭적으로 변하는 것을 확인할 수 있습니다.
핵심 통찰: ρ (Heston) 와 μⱼ(점프) 는 모두 스큐를 만들지만, 완전히 다른 메커니즘을 통해 만듭니다.ρ 는 스팟-변동성 상관관계를 통해 스큐를 만들며, 이는 시간이 지남에 따라 점진적으로 형성됩니다. μⱼ 는 방향성 점프를 통해 스큐를 만들며, 이는 즉각적으로 나타납니다. 이것이 Bates가 단기물과 장기물을 동시에 적합시킬 수 있는 이유입니다.
기간구조 분해
단기 만기 스마일은 대부분 점프에서 나옵니다. 장기 만기 스마일은 대부분 확률적 변동성에서 나옵니다. 이 분리가 Bates가 존재하는 이유입니다 -- 어느 성분도 단독으로는 전체 기간구조를 피팅하지 못합니다.
그 메커니즘은 분산 스케일링입니다. 확산 분산은 T에 비례하여 누적됩니다. 1년에 걸쳐 확산 성분은 축적될 시간이 있습니다. 점프 분산도 T에 따라 스케일링되지만(λ · T 예상 점프), 각 개별 점프는 기간과 관계없이 동일한 크기입니다.
T = 7일에서는 확산 분산이 축적될 시간이 거의 없지만, 단일 점프는 여전히 전체 크기로 여러분을 타격할 수 있습니다. 한 주 동안의 −10% 폭락은 일 년 동안의−10% 폭락과 동일한 페이오프 영향을 가집니다 -- 하지만 그 폭락은 365일보다 7일 동안의 총 예상 움직임에서 훨씬 더 큰 비중을 차지합니다.
T = 1년에서는 확률적 변동성이 분산 경로의 전체 분포를 탐색할 시간이 있었습니다. 평균회귀, 변동성 군집, 현물-변동성 상관관계가 모두 작동합니다. 점프 성분은 여전히 존재하지만 총분산에서 차지하는 비중은 더 작습니다.
위의 네 개 차트를 보세요. T = 7d에서는 빨간 영역(점프 기여도)이 윙을 지배합니다. T = 1y에서는 그것이 얇은 조각입니다. λ 를 늘리고 교차점이 이동하는 것을 지켜보세요 -- 더 빈번한 점프는 점프 기여도를 곡선의 바깥쪽으로 더 밀어냅니다.
이 분해는 직접적인 트레이딩 시사점을 갖습니다. 점프 리스크가 잘못 프라이싱되었다고 생각하면 단기 구간을 거래합니다. 분산 동역학이 잘못 프라이싱되었다고 생각하면 장기 구간을 거래합니다. Bates는 이러한 베팅을 분리할 수 있는 프레임워크를 제공합니다.
Bates 캘리브레이션
파라미터 8개는 많은 수입니다. 서로 다른 조합이 유사한 스마일을 만들어낼 수 있고, 옵티마이저는 불안정한 영역으로 빠질 수 있습니다. 실무 캘리브레이션에는 규율이 필요합니다.
표준 접근법은 2단계 전략입니다:
1단계: 관측 가능한 값을 고정합니다. v₀ 는 현재 ATM 내재 분산으로부터 고정됩니다. 드리프트율 r은 알려져 있습니다. 그러면 일곱 개의 자유 파라미터가 남습니다.
2단계: 그룹별로 캘리브레이션합니다. 먼저 κ, θ, σ, ρ 를 장기물 스마일(점프가 거의 기여하지 않는 곳)에 적합시킵니다. 그런 다음λ, μⱼ, σⱼ 를 단기물 잔차에 적합시킵니다. 몇 번 반복하여 정교하게 다듬습니다.
이 접근법이 작동하는 이유는 두 파라미터 그룹이 표면의 서로 다른 부분을 제어하기 때문입니다. Heston 파라미터는 장기 구간을, 점프 파라미터는 단기 구간을 형성합니다. 순차적으로 피팅하면 각 최적화 단계의 차원이 줄어듭니다.
과적합의 함정. 더 많은 파라미터는 항상 표본 내 적합도를 향상시킵니다. 하지만 여덟 개 모두를 자유롭게 변동하도록 두면 노이즈를 적합시킬 위험이 있습니다. 그 징후는: 비슷한 스마일을 만들어내면서도 날마다 극적으로 변하는 파라미터입니다. 만약 λ 가 연속적인 캘리브레이션에서 0.5와 3.0 사이를 오르내린다면, 여러분의 적합은 불안정합니다.
위 차트는 현실적인 비교를 보여줍니다. Heston(주황, 파라미터 5개)은 등가격 (ATM) 영역은 잘 피팅하지만 깊은 외가격 (OTM) 풋을 체계적으로 놓칩니다. Bates(초록, 파라미터 8개)는 점프 성분이 Heston이 도달할 수 없는 가파른 단기 만기 스큐를 포착하기 때문에 윙을 정확히 맞춥니다.
메인 플롯 아래의 잔차 차트를 보십시오. Heston의 잔차는 윙에서 크고 체계적입니다 -- 단순히 노이즈가 아니라 모델 자체가 편향되어 있습니다. Bates의 잔차는 더 작고 더 무작위적입니다. 이것이 단순한 과적합이 아닌 진정한 개선의 특징입니다.
경험 법칙: 파라미터 3개 추가로 SSE가 50% 이상 감소한다면 추가 복잡성이 제값을 하는 것입니다. 감소가 10-20%에 불과하다면 Heston을 유지하고 윙 오차를 감수하는 편이 나을 수 있습니다.
크립토의 주력 모델
크립토 시장은 확률적 변동성과 빈번한 점프를 모두 보이기 때문에 Bates는 크립토 이색옵션 데스크의 표준 모델입니다. 청산 캐스케이드, 디페그, 거래소 장애는 Heston만으로는 프라이싱할 수 없는 실질적인 갭 리스크를 만들어냅니다.
크립토 변동성 표면에는 Bates가 잘 처리하는 독특한 특징들이 있습니다:
지속적인 변동성 레짐. BTC는 몇 주 동안 30% IV에 머물다가, 단 한 번의 청산 캐스케이드로 80%로 급등할 수 있습니다. 낮은κ (느린 평균 회귀)와 높은 v의 결합은₀충격 이후의 환경을 포착합니다. 이것이 Heston 성분이 하는 역할입니다.
빈번한 갭 무브. 10% 장중 폭락은 주식에서는 드물지만 크립토에서는 연간 여러 차례 발생합니다. 이들은 단지 큰 확산 움직임이 아니라 진짜 점프입니다. 이들은 어떤 정도의σ (변동성의 변동성)로도 맞출 수 없는 극도로 가파른 단기물 풋 윙으로 나타납니다. 점프 성분이 이것을 처리합니다.
양방향 점프. 점프가 거의 항상 하방인 주식 시장과 달리, 크립토는 상당한 상방 갭 리스크도 가지고 있습니다(숏 스퀴즈, 예상치 못한 ETF 승인, 거래소 상장). μⱼ 를 0에 더 가깝게(또는 일부 코인의 경우 심지어 약간 양수로) 설정하면 모델이 대칭적인 갭 리스크를 포착할 수 있습니다.
위의 분산 분해는 총 ATM 분산이 확산 성분과 점프 성분으로 어떻게 나뉘는지 보여줍니다. 일반적인 크립토 파라미터에서 점프는 총분산의 20-40%를 차지할 수 있습니다. 이는 보정항이 아니라 1차적 효과입니다.
Bates 너머: SLV. Bates는 Heston보다 관측된 표면을 더 잘 적합시키지만, 여전히 모든 행사가와 만기를 정확히 맞출 수는 없습니다. 실전 이색 옵션 가격 산정에서 대부분의 데스크는 그 위에 국소 변동성 오버레이를 얹어 확률-국소-변동성(SLV) 모델을 만듭니다. Bates는 동학 엔진을 제공하고, 국소 변동성은 정확한 캘리브레이션을 제공합니다. 자세한 내용은 SLV 레퍼런스 를 참조하세요.
Bates가 과한 경우: 단일 만기의 단일 스마일을 보간하기만 하면 된다면, SVI 를 사용하세요. 동학 없이 전체 표면이 필요하다면, SSVI 가 더 빠르고 안정적입니다. Bates는 기초 동학이 필요할 때 -- 이색 옵션 가격 산정, 경로 의존적 상품 헤징, 또는 스마일을 경제적 성분으로 분해할 때 -- 그 복잡성의 값어치를 합니다.
Black-Scholes: 스마일 없음. 하나의 변동성으로는 아무것도 맞지 않습니다.
Heston: 부드러운 스마일 동역학. 장기 구간을 처리합니다.
Bates: 부드러움 + 점프. 양쪽 구간을 모두 처리합니다.
SLV: 정확한 캘리브레이션 + 동역학. 프로덕션 표준입니다.
각 단계는 복잡성과 캘리브레이션 비용을 추가합니다. 자신의 사용 사례에서 추가적인 장치가 그 오버헤드만큼 가치가 있는지 판단하는 것이 핵심입니다.
다음 학습 자료:
Heston 기초부터 -- Heston의 다섯 가지 파라미터 심층 탐구
SVI 파라미터화 -- 크립토 변동성 표면의 스마일 피팅 표준
SSVI -- 무차익거래 전체 표면 파라미터화
보간 방법 -- 모든 방법 비교