Bates 모델
Bates (1996)는 Heston에 Merton 점프를 추가한 모델입니다. 확률적 변동성은 일상적인 부드러운 움직임을 담당하고, 점프는 갭 리스크를 담당합니다. 대부분의 이색옵션 데스크는 SLV 또는 Bates 중 하나를 사용합니다.
Heston이나 Merton 단독으로는 크립토 시장에 맞지 않습니다 -- 지속되는 변동성 국면 그리고 갑작스러운 갭은 각각 별도의 메커니즘이 필요하기 때문입니다.
Heston만으로는 가파른 단기 만기 윙을 만들 수 없습니다
크립토는 단 하나의 블록 안에 15% 갭이 발생할 수 있습니다. 변동성의 변동성(vol-of-vol)을 아무리 높여도 청산 캐스케이드 이후에 나타나는 가파른 단기 만기 윙을 만들어낼 수는 없습니다. 점프가 그 공백을 메웁니다. Bates = 평상시를 위한 Heston + 급락을 위한 Merton입니다.
파라미터 탐색하기
'Show Heston only'를 토글하면 점선으로 표시되는 Heston 곡선을 볼 수 있습니다. 점선과 실선 Bates 곡선 사이의 간격이 순수 점프 기여분입니다.
베이츠 스마일 탐색기
"헤스턴만 표시"를 전환하면 확률적 변동성만의 점선 곡선을 볼 수 있습니다. 두 선 사이의 간격이 점프 기여분입니다.
각 파라미터의 역할
- 변동성의 변동성 (Vol of vol): Heston 쪽 파라미터입니다. 랜덤 변동성에서 오는 스마일 곡률을 제어합니다. 값이 높을수록 점프 없이도 스마일이 넓어집니다.
- 현물-변동성 상관관계: 확률적 변동성 구성요소에서 오는 스큐를 제어합니다. 음의 값이 클수록 변동성-가격 연결에서 오는 풋 윙이 가팔라집니다.
- 점프 빈도: 연간 갭 이벤트 발생 횟수입니다. 0이면 순수 Heston입니다. 2이면 대략 6개월에 한 번씩 갭이 발생합니다. 이 값은 양쪽 윙을 모두 끌어올립니다.
- 점프 스큐: 평균 점프 방향입니다. 음수이면 급락이 지배적입니다. rho가 이미 제공하는 스큐 위에 더해서 풋 윙을 더 가파르게 만듭니다.
스큐의 두 가지 원천
Bates는 서로 독립적인 두 가지 스큐 원천을 갖고 있습니다:
점프 스큐는 단기 구간(위클리, 7일 만기)에서 지배적이고, 바나가 주도하는 확률적 변동성 스큐는 장기 구간에서 지배적입니다. Bates를 사용하면 두 가지 기간구조 국면을 모두 포착할 수 있습니다.
분해 기법
점프 빈도를 조정하면서 Heston 오버레이를 켜고 끄면, 각 메커니즘에서 스큐가 정확히 얼마나 나오는지 확인할 수 있습니다. 실무 데스크에서 이 분해는 스큐 P&L이 변동성 동학에서 오는지 이벤트 리스크에서 오는지를 알려줍니다.
각 구성요소가 중요한 시점
Bates를 선택해야 할 때
단기 만기 윙은 점프에서 오고 장기 만기 스큐는 확률적 변동성에서 오는 만기 간 가격결정에 적합합니다. 하나의 모델로 두 국면을 다룹니다.
강점과 한계
캘리브레이션 주의사항
7개 이상의 자유 파라미터로는 노이즈를 포함해 거의 무엇이든 적합시킬 수 있습니다. 데스크에서는 내재변동성 기간구조에서 여러 파라미터(kappa, theta)를 고정하고, 변동성의 변동성, rho, 점프 파라미터만 매일 캘리브레이션합니다. 절대 모든 파라미터를 동시에 자유롭게 두지 마십시오.
Bates vs. 대안 모델
수식 탐색기
방정식 탐색기
💡 팁: 답안을 확인하기 전에 각 질문에 대해 스스로 답해보세요.
수학적 직관 쌓기
Bates 처음부터 배우기인터랙티브 레슨 · 사전 지식 불필요이 레슨에서는 Bates를 Heston에 점프를 더한 모델로 설명하고, 어떤 파라미터가 부드러운 스큐를 제어하고 어떤 파라미터가 갭 리스크를 제어하는지, 그리고 왜 단기 구간이 먼저 변하는지를 보여줍니다.
참고 항목:
- Heston 모델 -- Bates가 확장한 확률적 변동성 기반 모델
- Merton 점프-확산 -- Bates가 추가한 점프 구성요소
- 확률적 로컬 변동성 -- 대안이 되는 프로덕션 모델
- 스큐 -- 스마일이 기울어지는 이유
- 기간구조 -- 만기별 변동성 변화
- SVI 파라미터화 -- 바닐라 옵션을 위한 더 단순한 스마일 적합
- 보간 방법 -- 모든 방법 비교