처음부터 배우는 바슐리에
1/5퍼센트가 아닌 달러
Black-Scholes는 "10% 움직임"이라고 말합니다. Bachelier는 "$10 움직임"이라고 말합니다. 이것이 가장 오래된 두 옵션 가격결정 모델 사이의 근본적인 철학적 차이입니다.
Louis Bachelier는 1900년, Black과 Scholes보다 73년 앞서 자신의 모델을 발표했습니다. 그의 아이디어는 매우 단순했습니다: 가격 변화는 가산적이며 정규분포를 따른다는 것입니다. 모델은 방정식 하나입니다:
노멀 변동성이 $20이면, 모델은 1년 동안 가격이 약 $20 움직일 수 있다고 예측합니다. 가격이 $40에서 시작하든 $400에서 시작하든, 달러 기준 변동 폭은 동일합니다. 이것이 "가산적"의 의미입니다 -- 노이즈가 가격 수준에 비례해 커지지 않습니다.
이를 Black-Scholes와 비교해 보면, 노이즈가 곱셈적입니다: dS = S·σ·dW. 동일한 30% 변동성이 $100 기초자산에서는 $30 움직임을 만들지만 $500 기초자산에서는 $150 움직임을 만듭니다. 자가 늘어나는 셈입니다.
가격 슬라이더를 드래그해 보세요. 바슐리에 자는 눈금이 고정된 달러 간격을 유지합니다. BS 자는 늘어나거나 줄어드는데, 각 눈금이 현재 가격의 고정 퍼센트이기 때문입니다.
가산 모델은 음수 가격을 만들 수 있습니다. 주식 옵션 가격을 매길 때는 이것이 결함입니다. 하지만 금리(EUR, JPY, CHF에서 마이너스가 되었던)와 스프레드(본래 부호가 있는)에는 오히려 장점입니다. Bachelier는 시대를 73년 앞섰습니다 -- 그의 "결함"이 금리 옵션의 업계 표준이 되었습니다.
공식은 생각보다 단순합니다
바슐리에 콜옵션 가격은 Black-Scholes보다 구성 요소가 적습니다. 로그도 없고 할인율 관련 복잡함도 없습니다. 뺄셈, 비율, 그리고 두 번의 정규분포 조회만 있으면 됩니다.
공식을 두 부분으로 나누면 기억하기 쉽습니다:
Piece 1: (S − K)·Φ(d) -- 확률로 가중된 내재 페이오프입니다. 콜옵션이 내가격으로 만기되면 S를 받습니다 − K. Φ(d) 은(는) 그런 일이 일어날 확률입니다.
Piece 2: σn√T·φ(d) -- 시간가치 완충입니다. 스팟이 행사가격 근처에 있더라도 불확실성이 옵션에 기회를 부여합니다. 변동성이나 시간이 늘어나면 이 항이 커집니다.
Black-Scholes와 비교해 보면: C = S·Φ(d₁) − K·e−rT·Φ(d₂). BS는 ln(S/K)를 사용하는 반면 Bachelier는 S를 사용합니다−K. 그 로그가 유일한 차이점입니다. ATM 근처에서는 둘이 일치합니다.
행사가격을 현물가격에서 멀리 옮기면 두 가격이 벌어지는 것을 볼 수 있습니다. ATM 근처에서는 선형 근사와 로그 근사가 국소적으로 일치하기 때문에 거의 동일합니다. 깊은 외가격(OTM)에서는 바슐리에가 음수 가격을 허용하고 BS는 허용하지 않기 때문에 두 모델이 어긋납니다.
노멀 변동성 vs BS 변동성
ATM 근처에서는 두 변동성 간 환산이 단순합니다: σn ≈ S · σBS. 평평한 노멀 스마일은 기울어진 BS 스마일로 변환됩니다. 같은 달러 움직임이 행사가격마다 다른 퍼센트가 되기 때문입니다.
현물가격이 $100이고 BS 변동성이 30%라면, 노멀 변동성은 대략 $30입니다. 현물가격이 $50으로 하락하면, 같은 $30의 노멀 변동성이 BS 기준으로 60%가 됩니다. 바슐리에 세계에서는 아무것도 변하지 않았지만 -- BS 변동성은 두 배가 되었습니다.
이것이 완전히 평평한 바슐리에 스마일(모든 행사가격에 하나의 노멀 변동성)이 기울어진 BS 스마일을 만드는 이유입니다. 낮은 행사가격에서는 같은 달러 움직임이 더 큰 퍼센트가 됩니다. 높은 행사가격에서는 더 작은 퍼센트가 됩니다. BS 내재변동성 곡선은 왼쪽에서 오른쪽으로 아래로 기울어집니다.
아래 인터랙티브는 같은 시장을 보는 두 가지 관점을 보여줍니다. 바슐리에는 하나의 변동성을, BS는 곡선을 말합니다. 어느 쪽도 틀리지 않았습니다 -- 같은 옵션 가격 집합에 대한 서로 다른 좌표계일 뿐입니다.
바슐리에가 올바른 모델인 경우
바슐리에는 금리 옵션, 스프레드 옵션, 그리고 기초자산이 음수가 될 수 있는 모든 상품의 업계 표준입니다. 크립토 현물의 기본 모델로는 적합하지 않지만 -- 베이시스 및 펀딩비율 상품에는 완벽합니다.
금리: 2014년 ECB가 금리를 마이너스로 낮추자 Black-Scholes가 작동하지 않게 되었습니다. 음수의 로그를 취할 수 없기 때문입니다. 전 세계 금리 데스크는 하룻밤 사이에 로그정규 호가에서 노멀 호가로 전환했습니다. 이제 스왑션 변동성은 로그정규 변동성의 퍼센트가 아니라 노멀 변동성의 베이시스포인트로 호가됩니다.
스프레드: 두 가격의 차이는 본래 가산적입니다. 캘린더 스프레드, 베이시스 거래, 통화 간 스프레드는 양수도 음수도 될 수 있습니다. 바슐리에는 편법 없이 이를 처리합니다.
펀딩 상품: 크립토 펀딩비율은 0 주변에서 변동하며 음수가 될 수 있습니다. 펀딩비율에 대한 옵션의 가격을 매긴다면 바슐리에가 자연스러운 언어입니다.
크립토 현물: 가격은 양수이고 레버리지 효과(가격이 하락하면 변동성이 상승)를 보입니다. 여기에는 로그정규 프레임워크가 더 자연스럽습니다. 현물에는 BS를, 금리와 스프레드에는 바슐리에를 사용하세요.
왼쪽 패널은 바슐리에 경로를 보여줍니다: 가산적 노이즈, 대칭적이며, 일부는 0을 통과합니다. 오른쪽 패널은 BS 경로를 보여줍니다: 승법적 노이즈, 항상 양수이며, 분포에 긴 오른쪽 꼬리가 있습니다. 경로를 추가하며 얼마나 많은 바슐리에 경로가 음수로 가는지 관찰해 보세요 -- 그것이 금리에서는 오히려 장점이 되는 "결함"입니다.
가짜 스큐 문제
바슐리에 시장을 Black-Scholes 기준으로 호가하면 존재하지 않는 스큐가 보입니다. 그 "스큐"는 단지 좌표 변환일 뿐입니다. 이것이 이 페이지에서 가장 중요한 교훈입니다.
평평한 노멀 변동성으로 옵션 가격을 매기는 마켓메이커를 상상해 보세요. 모든 행사가격에 $20의 노멀 변동성을 적용합니다. 스큐도 없고 스마일도 없습니다. 숫자 하나뿐입니다.
이제 어느 트레이더가 표준 IV 솔버를 사용해 그 가격들을 BS 내재변동성으로 변환합니다. 낮은 행사가격의 옵션은 더 높은 BS 변동성을 보입니다. 높은 행사가격의 옵션은 더 낮은 BS 변동성을 보입니다. 트레이더는 풋 스큐를 보고 시장이 급락 위험을 가격에 반영하고 있다고 생각합니다.
하지만 이 시장에는 급락 위험이 없습니다. 그 스큐는 정규분포 세계를 로그정규 렌즈로 억지로 들여다본 결과 생긴 인공물입니다. 기초자산 $80에서 $20 움직임은 BS 기준 25%입니다. 기초자산 $120에서 같은 $20 움직임은 16.7%에 불과합니다. 퍼센트는 다르지만 달러 움직임은 같습니다.
이것이 실무에서 중요한 이유:
스큐를 오진할 수 있습니다. 금리 데스크가 노멀 변동성으로 호가하는데 이를 BS로 변환하면, 100% 인공물인 스큐가 보입니다. 그 스큐를 거래하지 마세요.
SABR과의 연결. SABR의 베타 파라미터는 바슐리에-BS 스펙트럼에서 어디에 위치할지를 결정합니다. 베타 = 0은 완전한 바슐리에(정규)입니다. 베타 = 1은 완전한 BS(로그정규)입니다. 베타 = 0에서 BS 기준으로 보이는 "스큐"의 대부분은 같은 좌표 인공물입니다.
황금률: 스큐를 거래하기 전에, 그것이 시장의 특성인지 모델의 특성인지 확인하세요. 한 좌표계에서 평평한 것이 다른 좌표계에서는 기울어져 보일 수 있습니다.
다음으로 볼 내용:
Black-Scholes -- 로그정규 쪽의 대응 모델
SABR 모델 -- 베타로 정규-로그정규 스펙트럼을 선택
CEV 모델 -- 베타 파라미터로 정규와 로그정규를 연결
스큐 -- 모델 인공물과 시장 특성의 구분