바슐리에 (정규) 모델
바슐리에(1900)는 최초의 옵션 가격결정 모델로, 블랙-숄즈보다 73년이나 앞섭니다. 가격 변화는 가산적이며 정규분포를 따릅니다. 퍼센트 수익률(로그정규)을 모델링하는 대신, 바슐리에는 달러 변화(정규)를 모델링합니다. 가격이 음수가 될 수 있다는 점은 주식에서는 결함이지만, 금리에서는 장점입니다.
이 모델은 정확히 하나의 파라미터만 가집니다: 절대값 단위로 측정되는 정규 변동성입니다(예: "연 30%" 대신 "연 $50"). 스마일이 존재하지 않습니다. 세상이 바슐리에 모델을 따른다면, 모든 행사가격에 걸쳐 모든 옵션이 동일한 정규 변동성을 갖게 됩니다. 이 평평한 스마일이 이 모델의 핵심 예측입니다.
스큐는 모델의 산물일 수 있습니다
바슐리에는 구조적으로 평평한 스마일을 만들어냅니다. 그 가격들을 블랙-숄즈 내재변동성으로 변환하면 스큐가 나타납니다. 그 스큐는 시장에 존재하는 것이 아니라, 정규분포일 수 있는 세상에 로그정규 수학을 강제로 적용한 결과입니다.
모델 탐색하기
파란색 점선의 평평한 선이 바슐리에의 관점입니다: 모든 행사가격에 하나의 변동성. 녹색 곡선은 동일한 옵션 가격을 블랙-숄즈 기준으로 다시 표현한 것입니다. 현물 가격을 낮추면 바슐리에 세계에서는 아무것도 변하지 않았는데도 겉으로 보이는 BS 스큐가 가팔라지는 것을 확인할 수 있습니다.
Bachelier vs Black-Scholes 탐색기
평평한 파란 점선은 Bachelier의 관점으로, 모든 행사가격에 하나의 변동성을 적용합니다. 녹색 곡선은 동일한 옵션 가격을 Black-Scholes 기준으로 다시 표현한 것입니다. "스큐"는 모델링의 산물이지 시장의 특성이 아닙니다.
각 파라미터의 역할
- 정규 변동성: 유일한 파라미터입니다. 연간 절대 가격 단위로 측정됩니다(퍼센트가 아님). 정규 변동성 20은 가격이 1년 동안 $20 움직일 것으로 예상됨을 의미합니다(1 표준편차). 모든 행사가격에 동일한 변동성이 적용됩니다 -- 스마일이 평평합니다.
- 현물 가격: 바슐리에 스마일을 바꾸지 않습니다(여전히 평평함). 그러나 BS 등가 스마일에는 극적인 영향을 미칩니다. 현물 가격이 낮을수록 동일한 달러 변동이 더 큰 퍼센트 변동으로 환산되므로 BS 내재변동성이 상승하며, 겉으로 보이는 풋 스큐가 생성됩니다.
BS '스큐'가 나타나는 이유
SABR의 베타가 백본을 결정합니다
SABR의 백본(변동성의 변동성을 끈 상태의 스마일)은 베타에 따라 달라집니다. 베타 = 0: 바슐리에. 베타 = 1: 블랙-숄즈. 베타는 정규-로그정규 스펙트럼에서 어디에 위치할지를 선택합니다.
바슐리에가 사용되는 곳
크립토 현물 옵션에는 부적합
크립토 현물 가격은 양수이며 레버리지 효과(가격 하락 시 변동성 상승)를 보입니다. 여기서는 로그정규 프레임워크(블랙-숄즈 계열)가 더 자연스럽습니다. 바슐리에는 금리, 스프레드, 그리고 음수가 될 수 있는 모든 것에 적합한 도구입니다.
바슐리에 vs. 블랙-숄즈 한눈에 보기
변환 공식
ATM 근처에서는 두 모델 간 변환이 가능합니다:
30입니다. 그러나 이 근사는 ATM에서 멀어지면 무너지며, 이것이 바로 바슐리에 가격을 변환할 때 BS '스마일'이 나타나는 이유입니다.
정의상 평평한 스마일
바슐리에는 가격 변화를 가산적으로 취급합니다. 그 스마일은 정의상 평평합니다. BS 기준으로 변환한 후 나타나는 스큐는 모델 선택의 산물이지 시장의 특성이 아닙니다.
방정식 탐색기
방정식 탐색기
💡 팁: 답안을 확인하기 전에 각 질문에 대해 스스로 답해보세요.
수학적 직관 쌓기
바슐리에를 처음부터 배우기인터랙티브 레슨 · 사전 지식 불필요이 레슨은 쉬운 언어로 된 멘탈 모델에서 시작하여, 정규 변동성, 가격결정 공식, 그리고 평평한 정규 스마일이 블랙-숄즈 기준으로 변환된 후 스큐로 나타날 수 있는 이유를 단계별로 설명합니다.
참고 자료: